一个没有国籍的人.doc

一个只有名字的国度路德维希·玻尔兹曼(LudwigBoltzmannGeorg cantor）的例子可以看作是他们两的过渡，他已经被Nathalie Charraud（巴黎精神分析家让迪厄多内(Jean?Dieudonn)在格罗滕迪克60大寿上所发表的纪念文集里的介绍里的分析。 康托尔几何理论的丰富遗产使得20世纪产生了占统治地位的函数分析。这是一种经典的由莱布尼兹和牛顿所创造微积分的一种扩展。在这里所考虑的不仅仅是一个特定的函数（比如一个指数函数或者一个三角函数）而是一大类特定类型的函数所能够展现出来的变化和操作。这种在代数上的“新”的理论，通过伯雷尔和勒贝格在20世纪初的创造，紧接着是赋范空间的创立,产生了新的建造和证明的数学工具。这项理论是如此有魅力，因于他的普适性，简洁性，还有自洽性。它能够很优雅地解决许多困难的问题。所要付出的代价通常是使用一些非构造的方法（巴拿赫空间理论，博雷尔理论，以及他们的结论）使得一个人去证明一个数学对象的存在，但却不用给出有效的构造。这并不令人感到惊讶一个初学者会反应如此欣喜---被它的普适性所迷恋—在格罗滕迪克在蒙特利埃学习到这个理论的时候，在一些老一派的教授的本科课程学习的过程中。到1946年，勒贝格的理论已经快有五十岁了，但是却仍然稳固地在法国的大学里讲授，因为它被认为是一种高度精确的工具，值得被这些特别是有能力的数学家们使用。 直到他来到巴黎的数学世界，1948年，格罗滕迪克20岁，他已经写了一篇很长的重建了一个普适性的勒贝格测度论的手稿，一旦他被南锡大学所接受，那些让迪厄多内Henri Cartan, Laurent Schwartz and Jean-Pierre Serre等人的推动，数学家们向有关几何的，群理论，还有拓扑学的最困难的的问题发起进攻。新的工具出现了：层理论（Jean Leray开创）以及同调代数(Henri Cartan andSamuel Eilenberg开创)，这两者的普适性和可变性令人赞叹。而作为金苹果果园里的结出的丰收之果则是著名的由安德烈魏伊在1954年给出的陈述（即韦依猜想）：这个猜想以没有一般性的组合的问题的形式呈现（计算在一个伽罗瓦域里有关变量方程解的数目），即使我们已熟知有一部分非平凡的特殊例子。一个有趣的方面是这个猜想就像融合了对立的两极：离散性和连续性，或者有限和无限。这个用以确定在几何流形在连续变形下的不变量所创造的拓扑学工具，必须有能被用于枚举有限的数目的构造，就像摩西（基督教人物，誉为立法者）一样，安德烈魏伊瞥到了前景大陆上的景色，但又不像摩西，他没能够跨越红海和沙漠，他确实也没有足够的器量。对于他的工作，他已经在纯数学的基础上重建了整个代数几何，在这里面域的概念是主要的，为了能够建造这样一种算术的几何，用一个可交换的环去替代代数学概念的域是必要的。通过以上创立的同调代数的改编版能够很好的驯服在算术几何上的问题。安德烈魏伊他本事并没有无视这些技术或者这些问题，他的贡献是巨大的而且重要的，但是安德烈魏伊对这个大工具感到怀疑，也从来没有要与层理论，同调代数，范畴论打交道。而格罗滕迪克则相反，格罗滕迪克全心全意地拥抱它们。 格罗滕迪克第一次冒险进入这个领域就好象霹雳一般。那篇现在我们称之为“东北”的文章，就如在1957年东北数学杂志上所展现的那样，起了一个谦虚的名字：Sur quelques points d’alg` ebre homologique。同调代数，设想了一个一般性的去达到涵盖并超越这些特殊的例子的工具，是由Cartan and Eilenberg提出的（他们的书《同调代数》写于1956年）,这本书给出了非常精确的阐述，但是限制了在环上的模理论的发展，以及相联系的函子Ext 和Tor-----这是一个已经非常综合的已知的工具和结果，但是层理论始终没有进入这份图景。层理论，在Leray（法国数学家）的工作下，最终被整合在他们的同调代数上，但是同调理论是建立在临时性的方法上去模仿这种嘉当的几何工具的。在1950年，Eilenberg在法国待了一年,与嘉当一起承担了层同调理论的公理化，然而这项工作本身却维持了它内在了临时性特性。当塞尔1953年将层理论引入代数几何，Zariski 拓扑相似的病态的特征迫使塞尔搞了一些非常间接性的构造。格罗滕迪克天才般的闪念源源不断地从解决这些问题中涌现出来，就像他在这些年一遍又一遍的天才理论涌现的一样。通过分析同调代数在模理论上的成功原因，他挖掘出了远阿贝尔几何的概念（和D. Buchsbaum同时创立），以上所有的情况他以AB5做了标记，这种情况保证了足够单射事实的存在。而层理论又满足ab5的条件，并且包含于它，这种单射的解答的工具对于模理论来说是基础性的，并且以不需要任何技巧的方式扩展了层理论