理论力学8—动量定理2.pptVIP

8.3.1 质心运动定理 8.3.1 质心运动定理 8.3.1 质心运动定理 8.3.1 质心运动定理 8.3.2 质心运动守恒定律 8.3.2 质心运动守恒定律 课堂习题 8-10 公式回顾 对质量不变的质点系(比如刚体), 上式可改写为 质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和(外力的主矢)。 由动量定理的微分形式 8.3 质心运动定理 形式上, 质心运动定理与牛顿第二定律完全相似, 因此质心运动定理也可叙述如下: 质点系质心的运动, 可以看成一个质点的运动, 设想此质点集中了整个质点系的质量及其所受的外力。 由质心运动定理可知, 质点系的内力不影响质心的运动, 只有外力才能改变质心的运动。 质心运动定理直角坐标投影式 自然轴上的投影式 1 如果作用于质点系外力的矢量和恒等于零， 则质心作匀速直线运动; 若系统开始静止, 则质心位置始终保持不变。 以上结论, 称为质心运动守恒定律。 2 如果作用于质点系的所有外力在某轴上投影的代数和恒等于零, 则质心速度在该轴上的投影保持不变; 若开始时速度投影等于零, 则质心沿该轴的坐标保持不变。 a b 例1 质量为M 的大三角块放在光滑水平面上, 其斜面上放一和它相似的小三角块, 其质量为m。尺寸如图。试求小三角块由图示位置滑到底时大三角块的位移。 解: 取系统分析, 受力如图, 建立如图坐标。 Mg mg FN 由于SFx(e)＝0 , 且初始系统静止, 所以 x y 设大三角块向左产生的位移为S，则 解得 x y S a b x y Mg mg FN 例2 如图所示, 电动机外壳固定在水平基础上。 设定子质心位于转轴中心O1， 转子质心O2 到O1的距离为e，定子、转子的质量分别为m1、m2，已知转子以匀角速度w转动。求: (1) 质心运动方程；(2) 基础对电机总的水平和铅垂反力； (3) 若电动机没有螺栓固定，各处摩擦不计，初始时电机静止，求转子以匀角速度w 转动时电动机外壳的运动。 解: (1) 建立如图坐标, 任一瞬时， q＝w t， 即有 y x q e O2 O1 w 故质心运动方程为 y x q e O2 O1 w (2) 求基础对电机总的水平和铅垂反力 由质心运动定理 因 故 得 m2g m1g Fx Fy M y x q e O2 O1 w (3)若电机没有螺栓固定, 各处摩擦不计，初始时电机静止， 求转子以匀角速度w转动时电动机外壳的运动。 在图示坐标下，假设初始时xC1＝a(此时O1O2在垂直位置), 当转子转过q, 定子向右移动距离S, 则 即 由于SFx(e)＝0 , v1＝0 ，所以质心水平位置不变，即 x O2 O1 w m2g m1g Fy y a S q 以系统为研究对象, 受力如图。 解得 由此可见, 电动机在水平面上作往复运动。此时 若 　　　　, 则 　　 。因此如电动机无螺栓固定, 它将会跳起来。 x O2 O1 w m2g m1g Fy y a q S O A B [练习] 图示系统，重物A和B的质量分别为m1、m2。若A下降的加速度为a，滑轮质量不计。求支座O的约束力。 解: 设A下降的速度为vA, B上升的速度为vB, 则由运动学关系得 以整个系统为研究对象, 受力如图, 建立如图坐标。系统的动量在坐标轴上的投影为 O A B a vA vB m1g m2g FOx FOy x y 由质点系的动量定理 注意到 可得 O A B O A B a vA vB m1g m2g FOx FOy x y q x y B A C A B C Fy mg 习题8-6 均质杆AB，长l，直立在光滑的水平面上。求它从铅直位置无初速地倒下时，端点A相对图示坐标系的轨迹。 解: 分析杆AB受力。 因水平方向受力为零, 所以质心C在水平方向上运动守恒。 设任意瞬时AB倾角为q， 则有 消去参数q 得 可见运动轨迹是一个椭圆。 xA yA A y x j C O 习题8-13 质量为m长为2l的均质杆OA绕水平固定轴O在铅垂面内转动。已知杆的角速度为w, 角加速度为a。求杆在O轴的约束反力。 解: 采用质心运动定理。 以杆为研究对象, 受力如图, 建立如图坐标。 解得 O A a w j mg at C an C FOx FOy