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第六章 群与环 §6.1 基本要求 1. 掌握二元代数运算、代数系统的定义，能够判断一运算是否为二元代数运算，运算 是否满足交换律、结合律、分配律、幂等律、吸收律、消去律。 2. 掌握半群、群的定义以及群的性质，能够判断一代数系统是否为半群或群。 3. 掌握交换群的定义以及交换群中的三个指数律。 4. 掌握置换、轮换、不相杂轮换、对换等概念，会做置换的乘法，会将任意置换写成不相 杂轮换的乘积。了解置换的顺向圈表示。 5. 掌握奇置换、偶置换的概念，了解置换的定性数与置换的图型及奇偶性的关系。 6. 掌握n次对称群、n次交代群的概念，会写出其中的元素。 7. 掌握子群的定义以及子群的判别条件。掌握周期、循环群的定义和乘法群、加法群中周 期的性质以及循环群中一元素作为生成元的充要条件。 8. 掌握群中合同、右陪集的定义。了解子群在大群中的右陪集的一些性质。掌握正规子群 的概念以及一子群为大群的正规子群的充要条件。掌握并会正确应用Lagrange定理。 9. 掌握同态映射、同构映射、自同构映射的概念以及同态定理。会判断一个群与一乘法系 统间的映射是否为同态映射、同构映射或自同构映射。 10. 掌握同态核的概念，了解若σ是群G到G′上的同态映射，则其核N为一正规子群。 反过来，设N是G的一个正规子群，则有一个群G′以及一个G到G′上的同态映射 σ，使N为σ的核。掌握并会正确应用联系同态与同构的基本定理。了解σ为群G到 G′上的同态映射时，G中子群与G′中子群的关系。 11. 掌握环、交换环、含壹环、消去环的定义及其性质，会判断。 12. 掌握整区、体、域、子环、子体、子域等概念，以及环的子集作成子环的充要条件。 13. 掌握并会应用理想、主理想的定义，掌握环中合同关系、剩余类的定义以及环中合同关 系的性质。 14. 掌握环同态映射、同构映射、剩余环的定义，了解与群论中平行的环中的关于同态映射、 同构映射的一些定理。 15. 掌握单纯环与极大理想的定义，以及二者的关系，了解一个环是域的充要条件。 16. 了解群与环在计算机科学中的应用--计数问题、纠错码。 §6.2 主要解题方法 6.2.1 运算的性质 对常见的运算性质诸如封闭、结合、交换、分配、幂等、吸收、消去等，要熟悉其定义，并且会推断某性质是否成立。后面对各种代数系统都是根据运算的性质来下的定义，因此，对某代数系统进行判断，都必然归结到对运算性质的判断上。 例6.2.1 设S=Q×Q，Q为有理数集合，﹡为S上的二元运算，对于任意的a,b，x,y∈S，有： a,b﹡x,y=ax,ay+b， 问：（1）﹡的单位元是什么？ （2）当a≠0时，a,b的逆元是什么？ 解：（1）设﹡的单位元是e1,e2，则对于任意的x,y∈S，有： e1,e2﹡x,y=e1x,e1y+e2， x,y﹡e1,e2=xe1,xe2+y， 因为e1,e2是单位元，所以 e1,e2﹡x,y=x,y﹡e1,e2=x,y。 故 且 ， 解得：。 因此，﹡的单位元是1，0。 （2）当a≠0时， 设a,b的逆元为a-1，b-1，则 a,b﹡a-1，b-1=1，0， 而 a,b﹡a-1，b-1=aa-1,ab-1+b， 故 。 解得：。 因此，a,b的逆元为。 例6.2.2 设（G，·）是一个群，若群G的每一个元素都满足方程x2=1（其中1是G的单位元），那么G是交换群。 证明：对任意的a，b∈G，则运算的封闭性有a·b∈G，故由题意知， a2=1，b2=1， （a·b）2=1。 又（a·b）2= a·b·a·b，故 a·b·a·b=1。 因此， a·b = a·1·b = a·(a·b·a·b)·b 由（G， ·）是群，运算满足结合律，所以 a·(a·b·a·b)·b= a2·（b·a）·b2=1·（b·a）·1= b·a 即，a·b=b·a，所以，G是交换群。 例6.2.3 设（G，·）是一个半群，e是左壹，且对每一个x∈A，存在x’ ∈A，使得x·x’=e。试证明：对于任意的a，b，c∈A，如果a·b= a·c，则b=c。 证明：对于任意的a，b，c∈A，如果a·b= a·c，由题设条件知，对a∈A，存在a’∈A，使得a·a’=e。在等式a·b= a·c的两边同时左乘a’，得到 a’·（a·b）=a’·（a·c）。 因（G，·）是一个半群，运算满足结合律，故 a’·（a·b）=（a’·a）·b= e·b， a’·（a·c）=（a’·a）·c= e·c。 由e是左壹知， e·b=b， e·c=c。 综上，b=c。 6.2.2 关于置换群 要熟悉置换群的表示方法，一种是直接写，如，，另一种是将置换表示为不相杂轮换的乘积。要求正确地做置换的乘法。 例6.2.4 写出正四面体关于4个面的运动群