用向量方法讨论空间中的平行、垂直关系.docVIP

用向量方法讨论空间中的平行、垂直关系 重点难点 重点：用向量方法讨论空间中的平行、垂直关系 难点：将立体几何问题转化为向量问题． 知识归纳 一、用空间向量解决立体几何问题的思路 1．坐标法：如果所给问题的图形中存在互相垂直的直线(或平面)，比较方便建立空间直角坐标系写出点的坐标，这种情况下，一般是建立恰当的空间直角坐标系，用坐标法通过坐标运算来解决． 2．基向量法 如果在所给问题中，不好寻找交于一点的互相垂直的三条直线，或者其坐标难于求出，这时常选图中不共面的三条直线上的线段构造基底，将所给问题的条件和待解决的结论，用基底及其线性表示来表达，通过向量运算来解决． 二、平面的法向量 1．如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α，如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量． 2．求平面的法向量的方法 设n是平面M的一个法向量，AB、CD是M内的两条相交直线，则n·＝0，n·＝0.由此可求出一个法向量n(向量及已知)． 1．建立坐标系一定要符合右手系原则． 2．平面的法向量与直线的方向向量在求空间的角中起着关键作用，要注意向量的夹角与各种角的联系与区别． 四、思想方法点拨 （一）、运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤 ①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量的坐标；④结合公式进行计算，论证；⑤转化为几何结论． （二）、用空间向量研究空间线面的平行与垂直关系 1．用向量方法研究两直线间的位置关系 设直线l1、l2的方向向量分别为a、b. (1)l1∥l2或l1与l2重合?a∥b?存在实数t，使a＝tb. (2)l1⊥l2?a⊥b?a·b＝0. 2．用向量方法研究直线与平面的位置关系 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，v1、v2是与α平行的两个不共线向量． (1)l∥α或l?α?存在两个实数λ、μ，使a＝λv1＋μv2?a·n＝0. (2)l⊥α?a∥n?存在实数t，使a＝tn. l⊥α?? 3．用向量方法研究两个平面的位置关系 设平面α、β的法向量分别为n1、n2. (1)α∥β或α与β重合?n1∥n2?存在实数t，使n1＝tn2. (2)α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0. 若v1、v2是与α平行的两个不共线向量，n是平面β的法向量． 则①α∥β或α与β重合?v1∥β且v2∥β?存在实数λ、μ，对β内任一向量a，有a＝λv1＋μv2. ②α⊥β?? 五、课堂典例讲练 （一）用向量证明线面平行 [例1]　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD. 证明：方法1：如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M，N，A1(1,0,1)，B(1,1,0)， 于是＝， 设平面A1BD的法向量是 n＝(x，y，z)． 则n·＝0，且n·＝0， ∴， 取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)． 又·n＝·(1，－1，－1)＝0， ∴⊥n，又∵MN平面A1BD，∴MN∥平面A1BD. 方法2：∵＝－＝－ ＝(－)＝， ∴∥，又∵MN平面A1BD. ∴MN∥平面A1BD. 点评：(1)证明直线l1∥l2时，分别取l1、l2的一个方向向量a、b，则a∥b存在实数k，使a＝kb或利用其坐标＝＝(其中a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3))． (2)l∥平面α时， ①可取直线l的方向向量a与平面α的法向量n，证明a·n＝0； ②可在平面α内取基向量{e1，e2}，证明直线l的方向向量a＝λ1e1＋λ2e2，然后说明l不在平面α内即可 ③在平面α内找两点A、B，证明直线l的方向向量n∥. (3)证明平面α∥平面β时，设α、β的法向量分别为a、b，则只须证明a∥b. [例2]　在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1. 证明：分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D－xyz， 则A(1,0,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，E，M(1,1，m)．∴＝(－1,1,0)， 又E、F分别为AB、BC的中点， ∴＝＝. 又∵＝，＝(1,1，m－1)， ∵D1M⊥平面FEB1，∴D1M⊥EF且D1M⊥B1E. 即·＝0，且·＝0. ∴，∴m＝. 故取B1B的中点M就能满足D1M⊥平面EFB1. l1与l2垂直时，取l1、l2的方向向量a、b，证明a·b＝0. ②证明直线l与平面α垂直时，取α的法向量n，l的方向向量a，证明a∥n. 或取平面α内的两相交直线的方向向量a、b与直线l的