2.2.3待定系数法精要.pptVIP

* y x o 2.2.3待定系数法 1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，试判断下列各式的正负号. ab，ac，a+b+c，a－b+c，2a+b，2a－b. 解：a0，b0，c0， 所以ab0，ac0， f(1)0，所以a+b+c0， f(－1)0，所以a－b+c0， 练习 1，a0，所以－b2a，2a+b0; 2a－b0. 2. 已知二次函数y=x2－mx+m－2， （1）证明：无论m为何值时，函数的图象与x轴总有两个交点； （2）m为何值时，这两个交点之间的距离最小. 解：（1）△=m2－4m+8=(m－2)2+40， 所以无论m为何值时，函数的图象与x轴总有两个交点； 练习 （2）设方程的两个解分别为x1，x2， 则x1+x2=m，x1x2=m－2， (x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2 =m2－4m+8=(m－2)2+4. 所以当m=2时，|x1－x2|最小，最小值是2. 2. 已知二次函数y=x2－mx+m－2， m为何值时，这两个交点之间的距离最小. 练习 设方程的两个解分别为x1，x2， 则x1+x2=m，x1x2=m－2， (x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2 =m2－4m+8=(m－2)2+4. 所以当m=2时，|x1－x2|最小，最小值是2. 解:△=m2－4m+8=(m－2)2+40，∴m∈R 2.已知函数f(x)=ax2+bx(a，b为常数),x∈[－1，1]，（1）若函数f(x)为偶函数，且f(1)=1，求a，b的值 练习 （2）若函数f(x)为奇函数，且f( )= ,求f(x)的值域. 解：因为函数f(x)=ax2+bx为偶函数，所以b=0， 又f(1)=1，所以a=1. f(x)=x2. 解：函数f(x)为奇函数，则a=0，b=1， 所以f(x)=x， x∈[－1，1]， 所以值域是[－1，1]. 二次函数解析式有哪几种表达式？ 一般式：y=ax2+bx+c (a≠0) 顶点式：y=a(x-h)2+k (a≠0) 两根式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) 一般式： y=ax2+bx+c 两根式： y=a(x-x1)(x-x2) 顶点式： y=a(x-h)2+k 解： 设所求的二次函数为　y=ax2+bx+c(a≠0) 由已知得： a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7 解方程得： 因此：所求二次函数是： a=2, b=-3, c=5 y=2x2-3x+5 已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、 （1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式？ 例1 例　题　选　讲 例　题　选　讲 解： 设所求的二次函数为　y=a(x＋1)2-3 (a≠0) 已知抛物线的顶点为（－1，－3），与y轴交点为 （0，－5）求抛物线的解析式？ y o x 点( 0,-5 )代入抛物线方程得 a-3=-5, 解得a=-2 故所求的抛物线解析式为 y=－2(x＋1)2-3 即：y=－2x2-4x－5 一般式： y=ax2+bx+c 两根式： y=a(x-x1)(x-x2) 顶点式： y=a(x-h)2+k 例2 例　题　选　讲 解： 设所求的二次函数为　y=a(x＋1)(x－1） (a≠0) 由条件得： 已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（1,0） 并经过点M（0,1），求抛物线的解析式？ y o x 点M( 0,1 )在抛物线上 所以：a(0+1)(0-1)=1 得： a=-1 故所求的抛物线解析式为 y=- (x＋1)(x-1) 即：y=－x2+1 一般式： y=ax2+bx+c 两根式： y=a(x-x1)(x-x2) 顶点式： y=a(x-h)2+k 例3 1.有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度 为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里 (如图所示)，求抛物线的解析式． 设抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋c (a≠0) ， 解： 根据题意可知 抛物线经过(0，0)，(20，16)和(40，0)三点 可得方程组 通过利用给定的条件 列出a、b、c的三元 一次方程组，求出a、 b、c的值，从而确定 函数的解析式． 过程较繁杂， 评价 课　堂　练　习 设抛物线为y=a(x-20)2＋16 (a≠0) 解： 根据题意可知 ∵ 点(0，0)在抛物线上， 通过利用条件中的顶点和过原点选用顶点式求解， 方法比较灵活 评价 ∴ 所求抛物线解析式为 1.有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度 为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里 (如图所示)，求抛物线的解析式． 课　堂　练