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第六章总体均数的估计 授课教师：朱彩蓉 总体均数的估计 均数的抽样误差与标准误 t分布 总体均数的估计 为什么进行抽样？ 均数的抽样误差 概念：抽样引起的总体参数与样本统计量之间的差异称为抽样误差(sampling error) 。 均数的抽样误差：抽样引起的样本均数与总体均数的差异称为均数的抽样误差。 样本均数 抽样误差 样本1 样本2 样本k 从总体N(4.5,0.22)中抽出100个样本的均数 从总体N(4.5,0.22)中抽出100个样本的样本均数的频数分布 样本均数抽样分布的特点 各样本均数未必均等于总体均数 样本均数之间存在差异 样本均数的分布规律:围绕着总体均数，中间多两边少，左右对称，基本服从正态分布 样本均数的变异较原变量的变异范围小 随着样本含量的增加，样本均数的变异范围逐渐缩小 数理统计的中心极限定理 从正态分布N(?,?2)中，以固定n抽取样本，样本均数的分布仍服从正态分布； 即使是从偏态分布总体抽样，只要n足够大，样本均数的分布也近似正态分布； 样本均数的总体均数仍为?，样本均数的标准差为 。 标准误(standard error) 样本均数的标准差称标准误,是说明均数抽样误差大小的指标， 大，抽样误差大；反之， 小，抽样误差小 。 标准误 的计算： 标准误 的估计值： 影响标准误大小的因素 的大小与?成正比 与样本含量n的平方根成反比 频数分布图 t分布 t分布的由来 t分布的特征 t分布曲线下的面积 t分布的由来 如果抽取例数n=5的样本k个，每个样本又都可以按公式（6.3）计算出一个t值，可将k个t值编制成频数表，作出直方图，当k无限增大时，则可得到一条光滑的曲线。 （式6.3 ） 同理，如果抽取例数n=15时，仍能得到一 条t分布曲线，因此，当n变化时，就可以得到不 同的t分布曲线，如图6.4： 自由度 随机变量能够自由取值的个数 = n-限制条件的个数 例：如求当 ，均数也为5时，随机变量X能自由取值的个数？ 1 ，2 ，3 ， 4 t分布的特征 t分布是一簇单峰分布曲线。 t分布以0为中心，左右对称且均匀下降。 其形态变化与自由度?的大小有关。自由度?越小，则t值越分散，曲线越低平；自由度?逐渐增大时，t分布逐渐逼近标准正态分布；当?=∞时，t分布即为标准正态分布。 t分布曲线下面积规律 t分布曲线下总面积仍为1或100% t分布曲线下面积以0为中心左右对称。 由于t分布是一簇曲线，故t分布曲线下面积固定面积(如95%或99%)的界值不是一个常量，而是随自由度的大小而变化，如附表3 。 附表3，t分布表的特点 附表3的横标目为自由度?，纵标目为概率P，表中数值为其相应的t界值，记作t?,? 。 附表3只列出正值，若计算的t值为负值时，可用其绝对值查表 。 附表3右上附图的阴影部分表示t?,?以外尾部面积的概率 。 其通式为， 单侧：P(t≤-t?,?)=?或P(t≥t?,?)=? 双侧：P(t≤-t?/2,?)+P(t≥t?/2,?)=? 图中非阴影部分面积的概率为， P(-t?/2,?tt?/2,?)=1-? 总体均数的估计 用样本指标估计总体指标称为参数估计，是统计推断的一个重要方面。 总体均数估计的两种方法 点估计：是直接用统计量估计总体参数?. 区间估计：由于抽样误差的客观存在，因而按一定的概率(100(1-?)%)估计总体均数所在的范围(亦称可信区间)。 点估计 例：已知150例7岁男童的平均身高为123.8cm，标准差为4.7cm，试估计该地所有7岁男童身高的总体均数？ 答：该地所有7岁男童身高的总体均数为123.8cm。 区间估计 概念：即按一定的概率(100(1-?)%)估计总体均数所在的范围(亦称置信区间)。 置信区间的计算 ?未知，且n小 ?未知，但n足够大 ?已知 例6.3：在某地成年男子中随机抽取25人，测得其脉搏均数为72次/min，标准差为8次/min。试估计该地成年男性脉