核按钮2017高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数 5.3 平面向量的数量积习题 理.doc

§5.3　平面向量的数量积 1．数量积的概念已知两个a与b我们把数量________________叫做a与b的数量积(或内积)记作____________即a·b＝________其中θ是a与b的夹角|cosθ(|b|cosθ)叫向量a在b方向上(ba方向上)的____________．·b的几何意义：数量积a·b等于_____________．数量积的运算律及常用结论(1)数量积的运算律交换律：___________________；数乘结合律：_______________________；分配律：___________________________．(2)常用结论(a±b)2＝________________________；(a＋b)·(a－b)＝_________________；＋b＝0______________________；|－＋数量积的性质设a都是非零向量是与b方向相同的单位向量θ是a与e的夹角则·a＝____________.⊥b?____________. ③当a与b同向时·b＝____________；当a与b反向时·b＝____________.特别地·a＝____________或＝____________.θ＝____________.≤____________. 4．数量积的坐标表示设a＝(x)，b＝(x)，则·b＝________________；a＝_____________；＝________________.⊥b?____________________. ③≤________________________. 自查自纠cosθ　a·b　|a||b|θ　投影　a的长度与b在a的方向上的投影θ的乘积(1)①a·b＝b·a　②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(2)①a2±2a·b＋b　②a2－b　③a＝0且b＝0　④≤ 3．①|a|cosθ　②a·b＝0　③|a||b|　－|a||b||2　　④　⑤|a||b| 4．①x1x2＋y　x＋y　＋y＝0　③ 　　　 　　　　　　 　　　　　　　 　　　 ()向量a＝(1－1)＝(－1)，则(2a＋)·a＝(　　)－1 ．解：因为2a＋b＝2(1－1)＋(－1)＝(1)，所以(2a＋b)·a＝(1)·(1，－1)＝1.故选. ()在平面直角坐标系xOy中已知四边形是平行四边形＝(1－2)＝(2)，则＝(　　)4 D．解：因为四边形ABCD是平行四边形所以＝＋＝(1－2)＋(2)＝(3－1)所以＝2×3＋1×(－1)＝5.故选 ()设a是非零向量·b＝|a||b|”是∥b”的(　　)充分而不必要条件 ．必要而不充分条件充分必要条件 ．既不充分也不必要条件解：a·b＝|a||b|〈a〉．若a·b＝|a||b|则〈a〉＝1即〈a〉＝0可得a∥b；若a∥b则〈a〉＝0或π此时a·b＝|a||b|或·b＝－|a||b|故“a·b＝|a||b|”是“ab”的充分而不必要条件．故选 在正三角形ABC中是BC上的点若AB＝3＝1则＝________. 解：如图所示·＝(＋)＝9＋3×＝故填 ()△ABC是边长为2的等边三角形已知向量a满足＝2a＝2a＋b则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)为单位向量；②b为单位向量；③a⊥b；④b∥；(4a＋)⊥. 解：由＝2a＝2a＋b得a＝＝－2a＝正确；|a|＝|＝1正确；|b|＝|＝2错误；a与b的夹角为120错误；(4a＋b)·b＝4a·b＋b＝－4＋4＝0正确．故填 类型一　数量积的定义及几何意义　(1)若a均为非零向量则下列说法正确的是．(填写序号即可)·b＝±?a∥b；⊥b?a·b＝0；·c＝b·c＝b；(a·b)·c＝a·(b·c)．解：a·b＝θ，θ为a的夹角则θ＝±1正确；显然正确；③错误如a＝－b⊥c，则a·c＝b·c＝0但a≠b；④错误因为数量积的运算结果是一个数即等式左边为ca的倍数．故填①②.(2)△ABC的外接圆的圆心为O半径为1若＋＝，且＝则向量在向量方向上的投影为(　　) B. C．3 D．－ 解：由已知可以知道的外接圆的圆心在线段BC的中点O处因此△ABC是直角三角形．且∠A＝又因为|＝|＝|，∴∠C＝＝＝＝1故在方向上的投影为|＝.故选数量积a·b＝|a||b|θ＝x＋y(其中两向量夹角为θ＝(x)，b＝(x))．其几何意义是：·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|cosθ的乘积．在理解数量积与投影概念的基础上利用二者的关系解题．　(1)已知平面向量a＝(x)，b＝(x)，若|＝|＝3·b＝－6.则的值为(　　) B．－ D．－解：因为a·b＝|a||b|〈a〉＝2×3×