西南交通大学2010-2011年第学期期中考试试卷高等数学II解答.docVIP

第四章 向量代数和空间解析几何 题型1 求直线方程或直线方程中的参数 题型2 求点到平面的距离 题型3 求直线在平面上的投影及旋转曲面方程 第五章 多元函数微分学 题型1 多元函数或多元复合函数的偏导数的存在性的判定或求解 题型2 多元隐函数的导数或偏导数的求解或判定 题型3 多元函数连续、可导与可微的关系 题型4 求曲面的切平面或法线方程 题型5 多元函数极值的判定或求解 题型6 求函数的方向导数或梯度或相关问题 题型7 已知二元函数的梯度，求二元函数表达式 第六章 多元函数积分学 题型1 求二重积分 题型2 交换二重积分的积分次序 题型3 求三重积分 题型4 求对弧长的曲线积分 题型5 求对坐标的曲线积分 题型6 求对面积的曲面积分 题型7 求对坐标的曲面积分 题型8 曲面积分的比较 题型9 与曲线积分相关的判定或证明 题型10 已知曲线积分的值，求曲线积分中被积函数中的未知函数的表达式 题型11 求函数的梯度、散度或旋度 题型12 重积分的物理应用题（转动惯量、重心等） 西南交通大学2010－2011学年第(2)学期期中考试试卷解答 2011．4 一、选择题（每小题3分，共计 15 分） 函数 在(0, 0)点 B . (A) 连续，偏导函数都存在； (B) 不连续，偏导函数都存在； (C) 不连续，偏导函数都不存在； (D) 连续，偏导函数都不存在。 二重积分 的值为（ B ）。 （A） （B） （C） （D） 设为可微函数，，则 。 ()．1； ()．； ()．； ()．。 设是以原点为圆心，为半径的圆围成的闭区域，则 。 ()．； ()．； ()．； ()．。 5、设在上连续，则二重积分表示成极坐标系下的二次积分的形式为 。 ()．； ()．； ()．；()．。 二、填空题（每小题4分，共计24 分） 1、设，则，在点处的梯度。 2、设，则= 1 。 3、由曲线所围成的闭区域，则= 。 4、函数在点处从点到点的方向导数是。 ，，， 5、曲线在点处的切线方程为，法平面方程为。 注意：，点；法平面方矢。 6、改变积分次序 。 三、计算题（每小题7分，共计49分） 1、求。 解：先交换积分次序 =。 2、求椭球面的平行于平面的切平面方程。 解：设切点为，则， 过切点的法向量为： ， 得，代入，得， 切点为或，， 故切平面方程为：或。 3、已知具有二阶连续偏导数，利用线性变换变换方程 。问：当取何值时，方程化为。 解： ， 。 ， ， 所以 时，应满足一元二次方程且。 解得，取其任一值时，方程化为。 4、，可微，求。 解：（公式法）令函数 则， 故 。 5、在经过点的平面中，求一平面，使之与三坐标面围成的在第一卦限中的立体的体积最小。 解：设过点的平面方程为，即 化为截距式方程 。 平面与三坐标面围成的在第一卦限中立体的体积为 由，，得平面的法矢满足。 取，所求平面为。 6、求二元函数在区域的最大值、最小值。 解 由得，在闭区域上由驻点，计算 在闭区域的边界上 则在边界上最大值为25，最小值21 故在闭区域上最大值为25，最小值为9 7、设区域，证明：。 解：在区域内，。 ，所以。 四、每小题6分，共计12分 1、设，用方向导数的定义证明：函数在原点沿任意方向的方向导数都存在。 证明：因为， 所以。由于式中为任意的方向角，这说明函数沿任意方向的方向导数都存在。 2、设，若是连续可微的函数，求。 解：时， 求导得。所以满足微分方程。解得 。 班 级 学 号 姓 名 密封装订线 密封装订线 密封装订线