江苏省2015年自主招生模拟题数学及答案(WORD).docVIP

江苏省2015年自主招生模拟题 一、选择题（每题6分，共24分） 2、对于任意的整数，满足的正数和的大小关系是 A 3、对正整数，设是关于的方程的实数根，记（符号表示不超过的最大整数）.则= A . 2013 提示：设，则易知当为正整数时，为增函数. 因为时， 且所以，时，方程有唯一实根，且，所以因此 4、关于的方程，给出下列四个命题： ①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根； 其中假命题的个数是（ A ） 解：考虑的图像，显然，他是偶函数。只用考虑上。 令 （舍），且时，，时， 同理， 时单调递减，时单调递增，且可计算得： ，故上草图： 二、解答题（15+15+16+15+15） 2、已知为自然对数的底数）. （1）求证：恒成立； （2）求证：对一切正整数均成立. （1）因为，所以当时，；当时，.因此在区间上为减函数，在上为增函数.所以，在上的最小值为因此恒成立. （2）由（1）知，不等式恒成立，所以对任意正整数有，，其中即对任意正整数有，，其中，…，所以 = 证明：由得 （1） 因为，所以 （2）因为，所以，从而 故 5、设的实数，求具有下述性质的最小正整数：如果个不同的、形如的和都等于，则 解：首先证明，取，则个形如的和都等于，因此 设存在个不同的形如的和都等于，由于，故存在一个，它在这个和式中至少出现次. 不失一般性，假定. 由于，于是在形如的和式中，至多一个不为，假定在这个和式中，，于是， 由此易得. （ 10分） 由于形如的三元组共个，而个和式等于，所以，一定存在满足，因此，即所有个数都是 （ 15分） y 1 x O