第十二讲中学数学证明教学.pptVIP

数学推理与证明 数学推理、证明及其教学 证明是数学科学的重要部分，是数学知识得以确证的唯一方式。 数学证明是中学数学的一个及其重要的部分，不论是代数、几何，或者是微积分均要涉及到证明，没有证明就没有数学。 亚里士多德Aristotle (384-322 BC) G. W. Leibniz, 1646-1716 在同一个思维过程中，思维对象必须保持同一； 使用的概念必须保持同一；在同一时间，从同一方 面，对同一思维对象作出的判断必须保持同一。它 的公式是“A就是A”或“p→p”。 同一律的作用在于保证思维的确定性。 如果违背了同一律的要求,那就会破坏思维的一贯性,造成思维混乱。在同一个推理、证明的过程中,就会犯“偷换概念”、“偷换论题”等逻辑错误。 从表面形式上看,“A是A”好像是枯燥无味的简单的同语反复。其实不然。同一律有两点具体的要求:一是思维对象要保持同一,所考察的对象必须确定,要始终如一,中途不能变更;二是表示同一对象的概念要保持同一，要以同一概念表示同一思维对象,不能用不同的概念表示同一对象，也不能把不同的对象混同起来用同一个概念来表示。 还需要指出的是同一律所要求的“同一”是相对的,有条件的,是在一定条件下的“同一”。条件变了,认识也相应地有所发展。如“方程x2+1=0没有根”这个判断,当数系由实数放大到复数后就要引起变化。 在同一论证过程中，对同一对象的两个互相矛盾的判 断不能同时为真，其中至少有一个是假的。其公式是“A不是 A”或“ (p∧ p)” 矛盾律是用否定的形式来表达同一律的思想内容的,它是同一律的引申, 同一律说A是A,矛盾律要求思维首尾一贯,不能自相矛盾,实际上也是思 维确定性的一种表现。因此,矛盾律是从否定方面肯定同一律的。 违背矛盾律要求的逻辑错误在于,在同一个思维过程中,把A与非A同时肯 定了下来,因而造成了自相矛盾的困境。如众所周知的一个例子:那个卖 矛、盾的楚人所说的“任何东西都不能穿过我的坚实的盾”、“我的锐利的 矛能穿过任何东西”,是互相矛盾的两个判断。这位楚人不能自圆其说,是 自己打自己的嘴巴,违背了矛盾律的要求。 矛盾律中所谓的矛盾是指思维过程中的思维混乱,即同时断定A与非A都真。 对这种逻辑矛盾,矛盾律要加以排除的。但矛盾律并不把辩证矛盾排除 在一切思维之外,更不否认世界固有的矛盾。 在同一论证过程中，对同一对象的肯定判断与否定判断这两个判断必有一个是真的，它的公式是“或者是A或者是 A”或 “p p ”. 违背排中律要求的逻辑错误在于,同时否定了A,又否定了 ,例如,楚人既夸口矛又夸口盾,当别人反问他“用你的矛穿你的盾如何”时,他既不能说:我的矛能穿过我的盾”,又不能说“我的矛不能不穿过我的盾”,这就表示他否定了A又否定了 ,从逻辑上说,违背了排中律就要犯模棱两可的逻辑错误。 排中律是反证法的逻辑基础。当直接证明某一判断的正确性有困难时,根据排中律,只要证明这一判断的矛盾判断是假的就可以了。 和矛盾律一样,排中律只是抽象思维中的逻辑规律,不是客观存在的基本规律。排中律只是排除思维中的逻辑矛盾,并不否定客观事物自身的矛盾。 同一律要求思维保持确定、同一,而没有揭示思维的相互对立或 矛盾的问题,矛盾律是同一律的引申和发展,它指明了正确的思维不仅 要求确定,而且不能互相矛盾或对立,即指出对于同一个思维对象所作 的两个互相矛盾或对立的判断,只要承认不能同真,至少必有一假即可, 并不要求作出肯定或否定的表示。排中律又比矛盾律更深入一层,明 确指出正确的思维不仅要求确定、不互相矛盾,而且应该明确地表示 出肯定或否定,指出对于同一个思维对象所作的两个“肯定判断”和“否 定判断”,不能同假,必有一真,要么“肯定判断”真,要么“否定判断”真,二 者必居其一。 ——《算术基础》，弗雷格(G.Frege, 1848-1925) 1930年之前：两个基本问题 任何判断都必须有充足理由才被认为是真的，其公式是“所以 有B是因为A”或“A是B的充足理由”。 正确的判断必须有充足的理由。可表示为:因为有A,所以有B,即由A一定能推出B,其 中A和B都表示一个或几个判断,A称为B的理由,B称为A的结论(推断)。例如,三组对应边 成比例,两组对应角相等、两组对应边成比例且夹角相等都是两三角形相似的充足理由. 充足的理由必须具备真实性、完备性、相关性,否则就不是充足理由。 充足理由律要求理由和结论之间必须具有本质的联系,理由是结论的充分条件,结论 是理由的必要条件,相关性就是指理由与结论间必须具有本质的内