2012天津市大学数学竞赛评分标准(理工类).pdf

2012 年 天津市大学数学竞赛试题参考解答 及评分标准 (理工类) 一. 填空题 （本题 15 分，每小题 3 分）: 1 f (x) sin 2x 1 1. 设lim 2 , 则lim f (x) 6 . 3x x0 e 1 x0 解 用等价无穷小代换, 得 f (x) sin 2x f (x) lim lim 2 . x0 6x x0 3 所以 lim f (x) 6 . x0 dx 1 2 3 2. 设函数f (x) 连续且不等于 0, 又xf (x)dx arcsin x C ,则  (1 x )2 C . f (x) 3 1 解 等式两端对 求导, 得 , 则 x xf (x) 1 x2 dx 2 1 2 3 / 2  x 1x dx  (1x )  C. f (x) 3  3 3 3 3. 半径为R 的无盖半球形容器中装满水, 然后慢慢地使容器倾斜 ，则流出的水量V R . 3 8  3 解 建立坐标系如图所示. OA Rsin R, 3 2 O 600 y 由旋转体体积公式，流出的水量 A