2016-2017学年高中数学人教版选修2-1课件：3.1.2 空间向量的数乘运算.ppt

课时跟踪检测见课时达标检测(十五) λ(μa)＝_______ 结合律 λ(a＋b)＝_________ 分配律 运算 律 λa＝0，其方向是任意的 λ＝0 λa与向量a的方向______ λ＜0 λa的长度是a的长度的____倍 λa与向量a的方向______ λ＞0 几何 意义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积_____仍然是一个______，称为向量的数乘 定义 λa 向量 相同 相反 |λ| λa＋λb (λμ)a 若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使__________ 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使________ 充要条件 平行于__________的向量叫做共面向量 表示空间向量的有向线段所在的直线_______________，则这些向量叫做________或平行向量 定义 共面向量 共线(平行)向量 推 论 共面向量 共线(平行)向量 3．.2　空间向量的数乘运算 [随堂即时演练] [提出问题] 作向量＝a＋a＋a，＝(－a)＋(－a)＋(－a)(a≠0)． 问题1：的模是a的模的几倍？ 问题2：的方向与a的方向一致吗？ 提示：一致． 问题3：||是|a|的几倍？与a的方向有怎样的关系？ 提示：3倍，相反． 空间向量的线性运算 [例1]　已知正四棱锥P-ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中x，y，z的值． (1)＝＋y＋z； (2) ＝x＋y＋. [解]　如图．(1)∵＝－＝－(＋) ＝－－， y＝z＝－.(2)∵O为AC的中点，QCD的中点， ＋＝2，＋＝2， ＝2－，＝2－， ＝2－2＋， x＝2，y＝－2. 空间向量共线问题 [类题通法] 利用向量的加减运算是处理此类问题的基本方法．一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径，结果应是唯一的． 应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量在几何中应用的前提，一定要熟练掌握． [活学活用] 如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点． (1)化简：－－； (2)设E是棱DD1上的点，且＝，若＝x＋y＋z，试求实数x，y，z的值． ＝(－)＝(＋－)＝a＋b－c. ＝－ ＝a－b－c＝. 又＝＋＋ ＝－b－c＋a＝a－b－c， ＝.又EF∩EB＝E， E，F，B三点共线.[典例]　(8分)空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别在边CB，CD上，且＝，＝. 求证：四边形EFGH为梯形． 1．已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则＋(＋)等于(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D. 解析： ＋(＋)＝＋×(2)＝＋＝.A　2．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有＝x＋＋，则x的值为(　　) A．1 B．0 C．3 D. 解析：＝x＋＋，且M，A，B，C四点共面，x＋＋＝1，即x＝.D　4．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k的值是________． 解析：＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2， ＝＋＝(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)＝6e1＋6e2. A，B，D三点共线，＝λ， e1＋ke2＝λ(6e1＋6e2)．e1，e2是不共线向量，∴k＝1. 答案：1 5.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为 BB1和A1D1的中点．证明：向量，，是共面向量． 解：＝＋＋＝－＋＝(＋)－＝－. 由向量共面的充要条件知，，，是共面向量． 空间向量的数乘运算 提示：3倍． [导入新知] [化解疑难] 对空间向量数乘运算的理解 (1)任何实数与向量的积仍是一个向量，当λ＝0时，λa＝0. (2)向量数乘运算满足以下运算律： λ(μ a)＝λμ a，λ(a＋b)＝λa＋λb. (3)运算律中是实数与向量的乘积，不是向量与向量的乘法运算.共线、共面向量 [提出问题] 空间中有向量a，b，c(均为非零向量)． 问题1：向量a与b共线的条件是什么？ 提示：存在唯一实数λ，使a＝λb. 问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？ 提示：一定；不一定． 问题3：空间两非零向量a，b共面，能否推出a＝λb(λR)? 提示：不能． [导入新知] 互相平行或重合 共线向量 同一个平面 a＝λb p＝xa＋yb 如果l为经过点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，其中a叫做直线l的，如图所示． 若在l上取＝a，则式可化为 ＝ 如图，空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数