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62 低 温 建 筑 技 术 2011年第2期 (总第 152期) 混沌振动的数值模拟 陈 ．俊，邹祖军 (同济大学土木32程学院结构所 。 上海 200090) 【摘 要】 运用数值计算和计算机图形识别相结合的方法，通过绘制一类非线性振动系统的时程曲线、相平 面图来判断混沌现象。以Duffing方程为例寻求适合解决结构动力非线性问题的有效途径，并得到了系统出现混 沌运动的一些规律。 【关键词】 非线性；Duffing方程数值模拟；混沌 【中图分类号】 TU311．3 【文献标识码】 B 【文章编号】 1001—6864(2011)02—0062—03 混沌振动是一种 由确定性系统产生对于初始条 的几何方法来更好地刻画混沌振动的往复非周期特 件极为敏感而具有内在随机性和长期预测不可能性 性 ．对于受周期外激励的非线性系统，将外激励周期 的往复非周期运动。关于混沌振动的研究已成为振 记作 ，在相平面(，)内，每隔一个周期取一个点，得 动力学中一个蓬勃发展的新领域，它不仅对数学 、物 到类似于振动实验中的频闪仪图像 ，在这些点的集合 理、力学的各个分支有重大促进 ，而且也为化学、生物 (P。)中，P0的坐标为 (。，。)，P。( 0)的坐标为 学、生态学、经济学等科学提供一种分析问题的全新 (( )，(iT))。 思路，甚至对人类 自然界的一些基本概念如决定论、 对于非线性系统，由于一般不能求出精确解析解 突变论、随机性等也有深刻启示 ．随着混沌理论研究 (t)，其映射关系 的显式也是不能得到，但利用微分 的深入，其工程应用也 日益受到重视。 方程数值解法可以数值化地确定映射 如果系统以 1 混沌振动的特征 周期 作稳态周期运动，则由周期运动的特点和映射 1。1 混沌振动的简单实例 的定义易知 ： 考虑由非线性弹簧和线性阻尼组成的质量弹簧 P。)：A 系统在简谐激励作用下的受迫振动。弹性恢复力 P与 即与周 期 运动对应的映射只是一个点。如果系 变形 的关系设为P=kx，动力学方程为： 统以周期2T作稳态运动则有 ： mx+c毫+k ： Feos(1)t 此系统不存在初积分 ，但给定其 中参数 m，c，k，F ，(P)：A： Pi) ， 2m l tAP)=B， i=2m+1J 以及位移和速度的初始值后，可以求出其数值解。当 取差别不大的两组初始位置 和初始速度 。时，位移 其中，m为整数，因而以周期2T运动的映射是两 个点。一般地 ，周期nT运动对应于映射的n个点，如果 随时间t的变化规律将随时间的推移初始误差 △ 越 系统稳态运动是准周期的，即： 来越大，也即初始值的微小差别经过一定时间后可导 (t)=Clcos(otlt+ 1)+C2sin(ot2t+ 2) 致系统状态的显著差别。具有初态敏感性是混沌振动