第四章分形在振动信号特征提取中的应用.pptVIP

一分形思想的形成 欧几里得几何学的研究对象是具有特征长度的几何物体 一维空间：线段，有长度，没有宽度； 二维空间：平行四边形，有周长、面积； 三维空间：球，表面积、体积； ． 英国的海岸线有多长? 测量方法： 我们想象一个人沿着一段海岸线拣尽可能短的道路步行，并规定每步长度不超过r，设这样测得的海岸线长度为L(r).然后重新开始，并使他在海岸线上最长的步长越来越短。 用一只小老鼠代替人测量。 用苍蝇代替小老鼠测量。 测量结论：随着步长r越来越短，我们测量出来的海岸线长度越来越长。 英国的海岸线有多长(续)? 英国科学家理查逊海岸线长度经验公式 L(r) =kr1-D 1 Koch 曲线 Koch曲线曾经在数学界成为一个魔鬼。 特点: (1)长度无限、面积为零、而曲线还有“界”。 (2)当取其中的一部分展开，与整体有完全的自相似性，似乎是一个什么东西的无数次的自我复制。 Koch 曲线 2 Mandelbrot集 热情地赞赏者常常说：曼德布罗特集是最复杂的数学对象，即使用无限的时间也不足以观察它的全貌。那饰以多姿多彩荆棘的圆盘，那弯曲缠绕的螺线和细丝，那挂着微细颗粒的鳞茎，那无穷尽的斑驳的色彩，那好像是上帝葡萄藤上的累累果实。曼德布罗特集显示了分形之美。曼德布罗特集成为了分形、混沌的一种国际标志 。 给定为一个初始的复数，C为一个复常数。对Z进行这样的迭代：Zn+1=Zn2+C如果n趋向于无穷时Zn有界，则C属于Mandelbrot集。 为了更好的编程绘制Mandelbrot集，采用下述方法： （1）设定一个最大的迭代次数N，和Zn模的上界M （2）给定Z0=0 ，C=0进行迭代，迭代超过M时的迭代次数n相同的点，标以相同的颜色。 （3）在[-2.5,1]×[-1.5,1.5]的区域上将图形640*480的分辨率画出。 3 Julia集 4 用计算机模拟出的其它分形图形 自然界中的分形 自然界存在的一些形状及其结构诸如星系、闪电、泥裂、材料断口、水系、晶簇、蜂窝石、小麦须根系、树冠、支气管、小肠绒毛、大脑皮层等等。尽是分形。 自然界中的分形几何 模型所建立的简单的几何结构，其与所生成的自然结构特征相同。从山峦的分形模拟方法产生一种理论，以描述地球表面的地势起伏。 复杂的大自然与欧氏几何的局限性 人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等等，都表现了客观世界丰富 多彩的现象。 传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同层次的复杂性。 分形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法。 分形的定义 严格地而且正式地去定义分形是一件非常复杂而且困难的事情。但是，有一些不太正规的定义却可以帮助我们理解分形的含义。这些定义中，最为流行的一个定义是：分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程。（曼德布罗特在1986年提出的定义是：分形是其组成部分以某种方式与整体相似的形。原文是：A fractal is a shape made of parts similar to the? whole in some way.) 也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已。 分形图形的自相似性 分形图形可看成是一种与整体有相似性的若干局部所构成的图形。 它的任何一局部都与整体有严格的几何相似性，即比例的自相似性，并且在任意尺度上有无穷细节的精细结构和无限可分。 Julia集分形图形 Julia集分形图形 二 分形研究的对象 研究“反直觉的”，“病态”的“数学怪物” 。 分形理论所研究的对象多为随机的、离散的、非连续的复杂现象，并且通过自相似性将对象的复杂性与简单性统一起来。作为一种数学理论，分形有严格的推理过程和测量方法，再加上自身的简洁性便于与现代计算机技术相结合构建数学模型，从而对自相似现象进行定量分析和模拟。 三 分形的应用 分形理论应用于从自然科学到社会科学的各个领域,如工程技术、物理、化学、生物医学、材料科学、天文地理、经济管理、计算机图形学等学科领域。 重点介绍在故障诊断中的应用 1.分形的基本知识 分形维数的一种直观定义(不很确切). 如果我们把集合E放大?倍，得到的新集合可以由?d个集合叠加而成，则称集合E的分形维数是d. 对于一些具有严格相似性的分形,其维数可以由维数的定义方便地求出. 对于复杂的分形,计算其维数的实用方法一般有:通