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数学物理习题2
阜师院数科院 * 例： 一长 l 柔软均质重绳，一端固定在匀速转动的竖直轴上。由于重力作用，绳的平衡位置应为竖直线。试推导其相对于竖直线的微小横振动方程。 解： 绳的线密度为 ρ，它在 x 处受的重力为 相对于竖直线的偏离为 。 (0,x) 一段在 x 处受重力 ；由于作用力等于反作用力，(x,x+dx) 一段在 x 处受(0,x) 一段的张力也为 。 同理， (x,x+dx) 一段在 x+dx 处受张力为 。 这一段的惯性离心力为 。 例 如图：弦上 x=0 处固结一质量为 M 的质点， 导出横振动问题中此点的衔接条件。 解： 设 弦在 x=0 是连续的： (1) M 的加速度由 或 描述应相同： (2) 一端固定的细杆，将另一端拉长 e 而突然放手， 求其定解条件。 例： 边界条件： 静止： 自由： 初始条件： 伸长： 静止： * ** 边界条件： 恒定热流： 自由冷却： 初始条件： 如图：单位质量 Q 在连续分布的质量 V 外，V 中的质量分布为 ，求 V 对 Q 的引力势满足的方程。 例： 可证： 又，单位质量受引力势为 或： a) x=0 处一小段 的沿 y 方向力： b) x=l 处一小段 的沿 y 方向力： 由于夹角 的方向与 x=l 处相反，故 *
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