数学物理方程复变函数复习.pptVIP

阜师院数科院 复变函数复习 2005.4.13 * 一、内容 复数的定义和代数； 复函数的定义和代数； 复函数的分析理论：微分和积分； 中心：解析性－可导性 解析函数：定义域中可导函数 必要条件：满足柯西－黎曼方程 积分：柯西定理（积分路径只要不经过奇点， 可以连续变形） 复函数的泰勒展开（在解析点的展开） 复函数的洛朗展开（奇点邻域的展开） 技巧：利用泰勒展开 留数定理； 留数的求法，留数定理求实函数的积分； 傅立叶级数； 傅立叶积分变换； 拉普拉斯变换； 复数项级数、复变项级数、幂级数 复数的定义和代数 复函数的定义和代数 复函数的分析理论：微分和积分； 解析函数 柯西定理 泰勒展开 洛朗展开 留数定理 留数的求法 求实函数的积分 傅立叶变换 拉普拉斯变换 相互关系 柯西公式 级数 幂级数 二、细节 1. 复数的定义和代数 复平面 z y x 1 1 O 2.复函数的定义和代数 E ：定义域（复平面上） 复函数 有关概念 邻域 内点 外点 境界点 境界线 区域 闭区域 E: 3. 分析理论 导数 可能有方向性！！ 在一点的可导性：导数与方向无关 柯西－黎曼方程 柯西－黎曼方程 调和函数 相互共轭：已知一个，可以求出另一个 例： 求 u 选坐标系： 直角坐标 ？ 极坐标 全微分 4. 柯西定理 在某闭区域解析的函数，它沿此区域边界的积分为零 积分路径只要不经过奇点， 可以连续变形 公式： 柯西公式 例：求积分 圆心在0的圆，-i 在其中 路径的正方向 5. 级数 复数项级数 收敛、绝对收敛、级数的运算与收敛性有关 两个绝对收敛的和，积，仍绝对收敛 例：正误： 方法1 方法2 5. 级数 复变项级数 此级数并不绝对收敛，上述运算无意义！ 收敛、一致收敛、绝对一致收敛 例 解 绝对一致收敛 幂级数 收敛的达朗贝尔判据 绝对收敛 收敛圆 例 若 收敛 证 与它有同样收敛半径 证： ： ： 泰勒展开（在解析点）： 与实函数展开无技术上区别 例：在z=0展开 在z=0解析 待定系数法 待定系数法：设 又 为待定系数 则 洛朗展开（奇点邻域的展开） 技巧：利用泰勒展开 例： 在 的洛朗级数 *