第二章 极限与连续习题.docVIP

习题二 1．写出下列数列的前五项： （1） （2） （3） （4） （5） 2、用数列极限的定义证明下列极限： （1） （2） （3） 3．用观察的方法判断下列数列是否收剑。 （1）yn：－，，－， ，－，… （2）yn：1，，，， ，，… （3）yn：0，，0，0， ，0，，… 4、用极限的定义证明下列极限： （1） （2） （3） （4） 5．设作f（x）的图形，并讨论当x→3时，f（x）的左右极限（利用第4题（1）的结果）。 6．证明不存在。 7．函数在什么变化过程中是无穷大量？又在什么变化过程中是无穷小量？ 8．以下数列在n→∞时是否为无穷小量？ （1） （2） （3） 9．当x→0时，下列变量中哪些是无穷小量？ 100x2，，，，，，x2＋0.1x 10．求下列各极限： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （n为正整数） （10） （11） （12） （13） （14） （15） （16） （17） （18） （19） （20） （21） （22） 11．设f（x）＝，求 12．设 分别讨论x→0及x→1时f（x）的极限是否存在？ 13．设 讨论x→0及x→2时f（x）的极限是否存在，并且求及。 14．已知，，，求： （1） （2） （3） （4） （5） 15．若，求k的值。 16．若，求a、B的值。 提示：，将a、b的关系式代入原式，将分子分解出（x－1）的因子。 17．若，求a、b的值。 提示：先通分。 18．已知f（x）＝，当x→∞时，p、q取何值f（x）为无穷小量？p、q取何值f（x）为无穷大量？ 19．当x→0时，试将下列无穷小量与无穷小量x进行比较； （1）x3＋1000x （2）－ 20．求下列极限： （1） （2） （3） （4） （5） 21．求下列极限： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 22．证明下列函数在（－∞，＋∞）内是连续函数： （1）y＝3x2＋1 （2）y＝cosx 23．求下列函数的间断点： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 24．函数f（x）＝在点x＝0处是否连续？并作出f（x）的图形。 25．函数f（x）＝在闭区间[0，2]上是否连续？并作出f（x）的图形。 26．函数f（x）＝在其定义域内是否连续？并作出f（x）的图形。 27．给f（0）补充定义一个什么数值，能使f（x）在点x＝0处连续？ （1） （2） （3） 28．设 问当k为何值时，函数f（x）在其定义域内连续？为什么？ 29．设 f（x）＝ 问当k为何值时，函数f（x）在其定义域内连续？为什么？ 30．下列函数f（x）在x＝0处是否连续？为什么？ （1） （2） （3） （4） 31．证明方程x5－3x＝1在1与2之间至少存在一个实根。 32．证明曲线y＝x4－3x2＋7x－10在x＝1与x＝2之间至少与x轴有一个交点。 33．设f（x）＝ex－2，求证在区间（0，2）内至少有一点x0，使。 提示：令 34．求下列极限： （1） （2） 35．当x→0时，下列无穷小量与x相比是什么阶的无穷小量。 （1）x＋sinx2 （2）＋sinx （3） （4）ln（1＋2x） 36．证明当x→0时，与是同阶无穷小量。 37．证明～（x→0） 38．证明tanx－sinx＝o（x） （x→0）