直线与平面垂直 苏教 高二教案.docVIP

§1.2.3（2）直线与平面垂直(1) 教学目标： 能够利用等价转化的思想证明立体几何问题，培养学生由图形想象出位置关系的能力；掌握直线和平面垂直的定义，掌握直线和平面垂直的判定定理。 教学重点： 直线和平面垂直的判定 教学难点： 判定定理理解应用 教学过程： 一、复习回顾： 直线和平面平行的判定方法有几种？（可利用定义判断，也可依判定定理判断.） 二、讲授新课： 1.问题情境 (1)情境：圆锥的形成过程：直角三角形绕着它的一条直角边所在直线旋转一周形成的几何体． (2) 问题：轴与底面内的哪些直线垂直呢？能不能说轴垂直于底面中的所有直线呢？为什么？ (轴与底面中任一半径垂直；对于底面中任意一条直线，总可以找到一条半径与之平行，而轴与任意一条半径都垂直，因此，轴垂直于底面中的所有直线．) 2．直线与平面垂直的定义 如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线和平面的交点称为垂足． “任意一条直线”，说明直线l必须和平面内的所有直线都具有垂直关系.不能理解成无数条线，必须是全部 问题2：在空间中，过一点有几条直线与已知平面垂直？过一点有几个平面与已知直线垂直？你能证明你的结论吗？ 结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 点到平面的距离：过平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离． 问题3：如果两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，那么另一条和这条直线的位置关系又怎样呢？(垂直) 问题4：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条和这个平面的位置关系又怎样呢？(垂直)为什么？ 例1：求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. 已知：a∥b，a⊥α求证：b⊥α 分析：要证b⊥α，需证b与α内任意一条直线m垂直. 运用等价转化思想证明与b平行的线a垂直于m，则需依题设直线m存在.进而运用线垂直于面内线完成证明.学生依图，及分析写出证明过程 证明：设m是α内的任意一条直线 3．直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 符号表示：，则． 直线与平面垂直的判定方法：(1)定义；(2)判定定理；(3) 。 对于判定定理注意两点. ①是判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性词语，一定要记准、用对. ②是要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的. 例 2．如图，已知是菱形所在平面外一点，且， 求证：平面 证明：连结并设交点为，连结， 四边形为菱形，，且为中点， ，， 平面， 平面。 3．课堂练习： 1.判断题 （1）l⊥αl与α相交（ ） （2）mα，nα，l⊥m，l⊥nl⊥α（ ） （3）l∥m，m∥n，l⊥αn⊥α（ ） 解：（1）√ 若不相交，则应有l∥α，或lα. （2）× m、n若是两条平行直线，则命题结论不一定正确. （3）√ 由例题结论可推得. 2.已知三条共点直线两两垂直，求证：其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面. 已知：m、l确定平面α，m⊥n,l⊥n，m∩l=o 求证：n⊥α. 证明：因 3.课本P34第3题 （板书示范解题过程） 4．小结： 1.定义中的“任何一条直线”这一词语，它与“所有直线”是同义语、定义是说这条直线和平面内所有直线垂直. 2.和平面垂直的直线是直线和平面相交的一种特殊形式. 3.注意两个结论： 过一点有且只有一条直线和已知平面垂直. 过一点有且只有一个平面和已知直线垂直. 4.判定直线和平面是否垂直，本节课给出了三种方法： （1）定义 强调“任何一条直线”； （2）例1的结论 符合“两条平行线中一条垂直于平面”特征； （3）判定定理 必须是“两条相交直线”. 5．课后作业： （1）预习：性质定理主要是讲什么？条件、结论各是什么？ （2）预习：直线到平面距离如何转化为点到平面距离？ （3）作业本P36习题1.2（2）第5、7题 3