三定问题 典型例题 验证 结论 .03.03.pdfVIP

20 ．（本小题满分 12 分） 2 2 x y 已知 F 、F 是椭圆  1的两焦点，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且满足 1 2 2 4 PF PF =1.过点 P 作倾斜角互补的两条直线 PA、PB 分别交椭圆于 A、B 两点. 1 2 （Ⅰ）求 P 点坐标; （Ⅱ）求证直线 AB 的斜率为定值; （Ⅲ）求△PAB 面积的最大值.    （Ⅰ）设 P 点坐标P x , y ，FF PF PF ，两边取模的平方得到  P P  1 2 2 1 2     2 2c FF PF  PF  PF  PF   1 2  2 1   2 1   2 2    2 2  2 2 PF  PF 2PF PF PF  PF 21 ，也就是8 PF  PF  2 ，得 2 2 2 2 1 1 1 1  2 2 到了 PF  PF 10 。利用椭圆的焦半径公式， 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 aey  aey 2 a e y 10 ，得到了a e y 5 ，代入数据就是  P   P   P  P 2  2 2 2 2 2 2   y 5 ，解得y 2 ，以及x 1。又因为 P 点在第一象限，所以P 1, 2 。  2  P P P     （Ⅱ）设椭圆弦 AP 的中点为M ，斜率为 k 。 2 2  x y 2x 2yy   对  1两边求导得到  0 ，化简为2x yy 0 ，把y k 代入得到 2 4