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向量代数与空间解析几何讲义 引言 解析几何即坐标几何，包括平面解析几何和立体解析几何两部分。解析几何通过平面直角坐标系和空间直角坐标系，建立点与实数对之间的一一对应关系，从而建立起曲线或曲面与方程之间的一一对应关系，因而就能用代数方法研究几何问题，或用几何方法研究代数问题。 ??? 在初等数学中，几何与代数是彼此独立的两个分支；在方法上，它们也基本是互不相关的。解析几何的建立，不仅由于在内容上引入了变量的研究而开创了变量数学，而且在方法上也使几何方法与代数方法结合起来。 ??? 在迪沙格和帕斯卡开辟了射影几何的同时，笛卡儿和费尔马开始构思现代解析几何的概念。这两项研究之间存在一个根本区别：前者是几何学的一个分支，后者是几何学的一种方法。 ??? 1637年，笛卡儿发表了《方法论》及其三个附录，他对解析几何的贡献，就在第三个附录《几何学》中，他提出了几种由机械运动生成的新曲线。在《平面和立体轨迹导论》中，费尔马解析地定义了许多新的曲线。在很大程度上，笛卡儿从轨迹开始，然后求它的方程；费尔马则从方程出发，然后来研究轨迹。这正是解析几何基本原则的两个相反的方面，“解析几何”的名称是以后才定下来的。 ??? 这门课程达到现在课本中熟悉的形式，是100多年以后的事。象今天这样使用坐标、横坐标、纵坐标这几个术语，是 HYPERLINK /datebase/briefing/scientist/17st/g_w_leibniz.htm \t contents 莱布尼兹于1692年提出的。1733年，年仅18岁的克雷洛出版了《关于双重曲率曲线的研究》一书，这是最早的一部空间解析几何著作。1748年， HYPERLINK /datebase/briefing/scientist/18st/Euler.htm \t contents 欧拉写的《无穷分析概要》，可以说是符合现代意义的第一部解析几何学教程。1788年， HYPERLINK /datebase/briefing/scientist/18st/j_l_lagrange.htm \t contents 拉格朗日开始研究有向线段的理论。1844年，格拉斯曼提出了多维空间的概念，并引入向量的记号。于是多维解析几何出现了。 ??? 解析几何在近代的发展，产生了无穷维解析几何和代数几何等一些分支。普通解析几何只不过是代数几何的一部分，而代数几何的发展同抽象代数有着密切的联系。 第二章 向量代数与空间解析几何 §2.1 空间向量及其坐标表示法 一、空间向量概念 向量? 在研究力学、物理学以及其他应用科学时, 常会遇到这样一类量, 它们既有大小, 又有方向. 例如力、力矩、位移、速度、加速度等, 这一类量叫做向量. 在数学上, 用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量. 有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向. 向量的符号? 以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作. 向量可用粗体字母表示, 也可用上加箭头书写体字母表示, 例如, a、r、v、F或、、、. 自由向量? 由于一切向量的共性是它们都有大小和方向, 所以在数学上我们只研究与起点无关的向量, 并称这种向量为自由向量, 简称向量. 因此, 如果向量a和b的大小相等, 且方向相同, 则说向量a和b是相等的, 记为a = b. 相等的向量经过平移后可以完全重合. 向量的模? 向量的大小叫做向量的模. 向量a、、的模分别记为|a|、、. 单位向量? 模等于1的向量叫做单位向量. 零向量? 模等于0的向量叫做零向量, 记作0或. 零向量的起点与终点重合, 它的方向可以看作是任意的. 向量的平行? 两个非零向量如果它们的方向相同或相反, 就称这两个向量平行. 向量a与b平行, 记作a // b. 零向量认为是与任何向量都平行. 当两个平行向量的起点放在同一点时, 它们的终点和公共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线. 类似还有共面的概念. 设有k(k33)个向量, 当把它们的起点放在同一点时, 如果k个终点和公共起点在一个平面上, 就称这k个向量共面. 二、空间向量的线性运算 1．向量的加法 向量的加法? 设有两个向量a与b, 平移向量使b的起点与a的终点重合, 此时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和, 记作a+b, 即c?a+b . 三角形法则? 上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则. 平行四边形法则? 当向量a与b不平行时, 平移向量使a与b的起点重合? 以a、b为邻边作一平行四边形, 从