函数的单调性与曲线的凹凸性与极值.docVIP

PAGE PAGE 25 第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性与极值 教学目的：理解函数的单调性和曲线的凹凸性的判定定理，会求函数的单调区间和曲线的凹凸区间，理解函数极值的概念，会求函数极值。 教学重点：掌握用一阶导数判断函数的单调性和利用二阶导数判断曲线的凹凸性的方法和极值。 教学难点：导数不存在的连续点、也可能是单调区间和曲线的凹凸区间的分界点。 教学内容： 一、函数单调性的判定法 如果函数在上单调增加（单调减少）, 那么它的图形是一条沿轴正向上升（下降）的曲线. 这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的）, 即 (或) 由此可见, 函数的单调性与导数的符号有着密切的关系. 反过来, 能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？ 定理1 (函数单调性的判定法) 设函数在上连续, 在内可导. (1)如果在内, 那么函数在上单调增加; (2)如果在内, 那么函数在上单调减少. 证明 只证(1)（（2）可类似证得） 在上任取两点, 应用拉格朗日中值定理, 得到 . 由于在上式中, 因此, 如果在内导数保持正号, 即, 那么也有, 于是 从而，因此函数在上单调增加. 证毕 注: 判定法中的闭区间可换成其他各种区间. 例1 判定函数在上的单调性. 解 因为在内, 所以由判定法可知函数在上单调增加. 例2 讨论函数的单调性. 解 由于 且函数的定义域为 令, 得, 因为在内, 所以函数在上单调减少; 又在内, 所以函数在上单调增加. 例3. 讨论函数的单调性. 解: 显然函数的定义域为, 而函数的导数为 所以函数在处不可导. 又因为时,, 所以函数在上单调减少; 因为时, , 所以函数在上单调增加. 说明: 如果函数在定义区间上连续, 除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续, 那么只要用方程的根及导数不存在的点来划分函数的定义区间, 就能保证在各个部分区间内保持固定的符号, 因而函数在每个部分区间上单调. 例4. 确定函数的单调区间. 解 该函数的定义域为. 而,令, 得. 列表 ? ? ? ↗ ↘ ↗ 函数f(x)在区间和内单调增加, 在区间上单调减少. 例5. 讨论函数的单调性. 解 函数的定义域为 函数的导数为:, 除时, 外, 在其余各点处均有 因此函数在区间上单调减少; 因为当时, , 所以函数在及上都是单调增加的. 从而在整个定义域内是单调增加的. 其在处曲线有一水平切线. 说明:一般地, 如果在某区间内的有限个点处为零, 在其余各点处均为正（或负）时, 那么在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 例6. 证明: 当时, . 证明: 令, 则 因为当时,, 因此在上单调增加, 从而当时, ,又由于, 故, 即, 也就是,(). 二、曲线的凹凸与拐点 1. 凹凸性的概念? x1 x1 x 2 y x O f(x2) f(x1) x1 x 2 y x O f(x2) f(x1) 定义 设在区间I上连续, 如果对I上任意两点?, 恒有 , ? 那么称在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧); 如果恒有 , 那么称在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧). 定义? 设函数在区间I上连续, 如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方，则称该曲线在区间I上是凹的；如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称该曲线在区间I上是凸的. 2.曲线凹凸性的判定 定理 设在上连续, 在(a, b)内具有一阶和二阶导数, 那么 (1)若在内, 则在上的图形是凹的; (2)若在内?, 则在上的图形是凸的. 证明 只证(1)((2)的证明类似)? 设? 记? 由拉格朗日中值公式? 得 ? ? ? ? 两式相加并应用拉格朗日中值公式得 ? ? 即? 所以在上的图形是凹的?? 拐点: 连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点. 确定曲线的凹凸区间和拐点的步骤: (1)确定函数的定义域; (2)求出在二阶导数?; (3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点; (4)判断或列表判断, 确定出曲线凹凸区间和拐点; 注: 根据具体情况（1）、（3）步有时省略. 例1. 判断曲线的凹凸性. 解? , . 因为在函数的定义域内, , 所以曲线是凸的. 例2. 判断曲线的凹