§2.7 分段低次插值.ppt

第七节 分段低次插值 分段线性插值图例 分段三次Hermite插值图例 * ? 2009, Henan Polytechnic University * §7 分段低次插值 第二章 插值法 * 我们已经知道插值有多种方法：Lagrange 插值、 Newton插值、Hermite 插值等多种方式。插值的目的就是数值逼近的一种手段，而数值逼近，为得是得到一个数学问题的精确解或足够精确的解。那么，是否插值多项式的次数越高，越能够达到这个目的呢？现在，我们来讨论一下这个问题。 我们已经知道：f(x)在n+1个节点xi(i=0，1，2，…，n)上的n次插值多项式Pn (x) 的余项 设想当节点数增多时会出现什么情况。由插值余项可知，当f(x)充分光滑时时，余项随n增大而趋于0的，这说明可用增加节点的方法达到这个目的，那么实际是这样吗？ 例：在[?5, 5]上考察 的Ln(x)。 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 - 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大， 端点附近抖动 越大，称为 Runge 现象 Ln(x) ? f (x) ? 取 设f(x)是定义在[a,b]上的函数，在[a,b]上节点 a= x0 x1x2…xn-1xn=b, 的函数值为 y0 , y1 ,y2 ,…yn-1 ,yn ,若函数?(x)满足条件 (1) ?(x)在区间[a , b]上连续; (2) ?(x)在每个子区间[xi , xi+1](i=0,1,2,???,n-1)上是次数为m的多项式; 则称?(x)是f(x)在[a ,b]上的分段m次插值多项式。 定义： 2.7.1 分段线性插值 所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接 起来逼近f(x)。 设已知节点 上的函数值为： 求一折线函数 满足 其形式是： ( ) 。 零，这种性质称为 地方均为 附近不为零，而在其他 只在 分段线性插值基函数 局部非零性质 j j x x l 即对任意两点： 即对任意两点： 几点说明： 2°可以预见，当n充分大时，Ih(x)能很好逼近f(x)。 1°分段线性插值多项式是分段函数； 3°Ih(x)有一个缺点：在插值点处有尖点，即一阶导数不连续，不够光滑。 下面的分段三次Hermite插值将克服这一缺点。 2.7.2 分段三次Hermite插值 已知 求一个分段函数 ，使其满足: (3) 在每个子区间[xk, xk+1] 上， 是次数不超过3的 多项式. 称满足上述条件的函数为分段三次Hermite插值函数. 由上节的两点三次Hermite插值多项式可知 此外，当f(x)是分段三次多项式时，f(x)的插值多项式 例如：