624 空间曲线的切线和曲面的切平面.docVIP

6.2.4 空间曲线的切线和曲面的切平面 课题： 空间曲线的切线和曲面的切平面 目的要求：会求曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线。 重点： 曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线的求法 难点： 公式的推导 教学方法： 讲练结合 教学时数： 2课时 教学进程： 一、空间曲线的切线和法平面 定义1 设在空间曲线上有一个定点，在其邻近处取上另一点，并作割线．令沿趋近，那么割线的极限位置就是曲线L在点的切线（图1） 图1设一条空间曲线方程为 图1 考虑所对应的一点及所对应的一点 则割线的方程为 以除上式各分母,得 当时, 切线的方程为 ． 作垂直于曲线在该点处切线的平面,这个平面称为曲线在点处的法平面,这个法平面的方程为 ． 例1 求螺旋线在处的切线与法平面方程． 解　　这里　 对应的点为,则曲线在点的切线方程为 法平面方程 二、 曲面的切平面和法线 定义2 设有曲面S， ()为S上任取的一点, 为S上过点的任意一条曲线,那么在点处曲线的切线称为曲面S在点处的切线．一般地，过曲面上的一点可以作无穷多条切线．可以证明，所有这些切线都在一个平面上．这个平面称为曲面S在点的切平面．过点垂直于切平面的直线，称为曲面S在点的法线． 设曲面的方程为，其中函数具有连续的一阶偏导数, 的方程为 可以证明,曲面在所对应的一点所对应切平面方程为 从而知道法线的方向数 所以法线的方程为 如果曲面方程的形式为，且在处满足一定的连续性条件,则曲面在点处的法线方程为 　　　　　　　　　　　　　　 切平面方程为 0 例2　求抛物面在点 处的切平面与法线的方程． 解 因为，所以根据公式，切平面的方程为 即 ； 法线的方程为 例3　求椭球面=0在点 (处的切平面方程． 解　令= =0，那么 所以，所求切平面的方程为 化简得 小结本讲内容：强调曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线的概念及求法。 作业： P196 7；8；9。