46 三角函数的图象与性质（二）.docVIP

4.6 三角函数的图象与性质（二） ●知识梳理 1.三角函数的图象和性质 函 数 性 质 y=sinx y=cosx y=tanx 定义域 值域 图象 奇偶性 周期性 单调性 对称性 注：读者自己填写. 2.图象与性质是一个密不可分的整体，研究性质要注意联想图象. ●点击双基 1.函数y=sin（－2x）+sin2x的最小正周期是 A.2π B.π C. D.4π 解析：y=cos2x－sin2x+sin2x=cos2x+sin2x=sin（+2x），T=π. 答案：B 2.若f（x）sinx是周期为π的奇函数，则f（x）可以是 A.sinx B.cosx C.sin2x D.cos2x 解析：检验. 答案：B 3.（2004年天津，理9）函数y=2sin（－2x）（x∈［0，π］）为增函数的区间是 A.［0，］ B.［，］ C.［，］ D.［，π］ 解析：由y=2sin（－2x）=－2sin（2x－）其增区间可由y=2sin（2x－）的减区间得到，即2kπ+≤2x－≤2kπ+，k∈Z. ∴kπ+≤x≤kπ+，k∈Z. 令k=0，故选C. 答案：C 4.（2005年北京东城区高三期末检测题）把y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数____________的图象；再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数____________的图象. 解析：向左平移个单位，即以x+代x，得到函数y=sin（x+），再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，即以x代x，得到函数：y=sin（x+）. 答案：y=sin（x+） y=sin（x+） 5.函数y=lg（cosx－sinx）的定义域是_______. 解析：由cosx－sinx＞0cosx＞sinx.由图象观察，知2kπ－＜x＜2kπ+（k∈Z）. 答案：2kπ－＜x＜2kπ+（k∈Z） ●典例剖析 【例1】 （1）y=cosx+cos（x+）的最大值是_______； （2）y=2sin（3x－）的图象的两条相邻对称轴之间的距离是_______. 剖析：（1）y=cosx+cosx－sinx =cosx－sinx=（cosx－sinx） =sin（－x）. 所以ymax=. （2）T=，相邻对称轴间的距离为. 答案： 【例2】 （1）已知f（x）的定义域为［0，1），求f（cosx）的定义域； （2）求函数y=lgsin（cosx）的定义域. 剖析：求函数的定义域：（1）要使0≤cosx≤1，（2）要使sin（cosx）＞0，这里的cosx以它的值充当角. 解：（1）0≤cosx＜12kπ－≤x≤2kπ+，且x≠2kπ（k∈Z）. ∴所求函数的定义域为{x｜x∈［2kπ－，2kπ+］且x≠2kπ，k∈Z｝. （2）由sin（cosx）＞02kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈Z）.又∵－1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1.故所求定义域为{x｜x∈（2kπ－，2kπ+），k∈Z｝. 评述：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线. 【例3】 求函数y=sin6x+cos6x的最小正周期，并求x为何值时，y有最大值. 剖析：将原函数化成y=Asin（ωx+）+B的形式，即可求解. 解：y=sin6x+cos6x=（sin2x+cos2x）（sin4x－sin2xcos2x+cos4x）=1－3sin2xcos2x=1－sin22x=cos4x+. ∴T=. 当cos4x=1，即x=（k∈Z）时，ymax=1. 深化拓展 函数y=tan（ax+θ）（a＞0）当x从n变化为n+1（n∈Z）时，y的值恰好由－∞变为+∞，则a=_______. 分析：你知道函数的周期T吗? 答案：π ●闯关训练 夯实基础 1.（2004年辽宁，11）若函数f（x）=sin（ωx+）的图象（部分）如下图所示，则ω和的取值是 A.ω=1，= B.ω=1，=－ C.ω=，= D.ω=，=－ 解析：由图象知，T=4（+）=4π=，∴ω=. 又当x=时，y=1，∴sin（×+）=1， +=2kπ+，k∈Z，当k=0时，=. 答案：C 2.（2004年北京海淀区二模题）f（x）=2cos2x+sin2x+a（a为实常数）在区间［0，］上的最小值为－4，那么a的值等于 A.4 B.－6 C.－4 D.－3 解析：f（x）=1+cos2x+sin2x+a =2sin（2x+）+a+1. ∵x∈［0，］，∴2x+∈［，］. ∴f（x）的最小值为2×（－）+a+1=－4. ∴a=－4. 答案：C 3.函数y=的定义域是________