6-通量差分.doc

§6. 通量差分 6.1 Godunov格式简介 Godunov格式是可压缩流动数值算法发展过程中的一个重要成果，对通量差分等方法的产生和发展起到了直接的促进作用。这一方法还是非线性问题（一维气体力学方程组）数值方法中第一个被证明能够收敛到方程弱解的格式，在这之前都是用线化模型方程研究格式的收敛性。但由于这种方法的计算量现在看起来都很大，以当时计算机的发展水平更是难以承受，所以其实用性较差。 考虑守恒律方程组 Godunov方法的求解过程中有两个关键步骤： 精确求解Riemann问题：在Godunov格式中，每一个网格上的计算是通过求Riemann问题的解析解来完成的，得到的是在整个网格内处处有定义的函数解（间断除外）。而通常的差分格式得到的是仅在网格点上有定义的离散解。 平均：由于Godunov格式给出的是函数解，为了让计算能够进行下去，需要计算解函数在网格上的平均值。这一做法后来发展成各种高阶重构方法，到现在还在使用。 上图给出了Godunov方法的示意图，计算的步骤简述如下。 设在 时刻，已经得到数值解函数 。 在以 为中心的网格 上，将 看成常数 。当然，最简单的做法就是取 在网格点上的值 。但是，取 在网格上的平均值 精度更高一些。事实上，由泰勒展开 代入上述积分，有 令 ，继续计算， 由此可见，作为函数 在网格上的常数近似，网格平均比网格点处的值 精度更高。 同理，在以 为中心的网格 上， 有另外一个常数近似 。 于是，在网格 上就形成了Riemann问题 所以，接下来就是计算Riemann问题的解析解。如果时间步长取得较小，相邻两个网格上的Riemann问题，波系不会相交，解不会互相干扰。这样，在一个时间步 之内就得到了在整个网格上都有定义的函数解 ，也就得到了 时刻的解 。 这就是Godunov格式的计算过程。 6.2 再论迎风格式 考虑对流方程 按照迎风分裂的处理方法，将 分解成了“正”和“负”两个部分 ， ， 对流项也相应地分裂成了两项。然后根据迎风原则，对这两项分别用向后差分和向前差分来近似。这样得到的差分格式 整理后成为 而对于守恒律方程组 就形成了通量分裂的思路： 直接将通量分解成“正”和“负”两个部分，对流项也相应地分裂成了两项。然后根据迎风原则，对这两项分别用向后差分和向前差分来近似。 下面我们考虑另一类处理方法。 6.3 Roe平均 先来对比一下守恒律方程组及其非守恒形式的差分格式，以后差格式为例。 守恒律方程组 非守恒方程组 由此可见，对于任意两个守恒变量 和 ，如果能找到一个矩阵 ，使得关系式 成立，那么取 、 ，表中给出的这两个后差格式在形式上就一样了（只是用 代替了 ）。上述关系式是一个差分关系式，类似于通量雅可比矩阵 满足的微分关系式 。 Roe分析了矩阵 应该具有的性质，称为性质： 矩阵 的特征值 、、…、 都是实数 矩阵 相似于一个对角矩阵。即：存在可逆矩阵 ，使得 满足差分关系式 满足相容性 当 时， 这样一来，就可以直接比照标量方程（对流方程）的迎风格式，写出守恒律方程组的迎风格式 式中 ， 利用性质，有 就得到守恒型迎风格式 而在这个格式中，借助矩阵 的对角化，也无需分裂，就可以直接定义 这里 是对角矩阵。 这就是通量差分方法的思路。 定义数值通量 守恒型迎风格式就成为 实际计算数值通量 中第二项的时候，通常是先计算向量 则 再用 、 、 、表示矩阵 的各列，最终得到 数值通量 的计算也是用同样的方法。 针对一维气体力学方程组，Roe找到了具有性质的矩阵 ，并给出了具体的计算方法。为此，定义速度 和焓 的加权平均（以密度的算术根为权） 进而根据焓的关系式 ，计算出声速 这就是著名的Roe平均。 Roe不是重新构造矩阵 ，而是将Roe平均代入通量雅可比矩阵 和相应的相似矩阵 注意到这些矩阵都是用 、 和 表示的，就得到 ， ， 以及矩阵 的特征值 ， ， Roe证明了这样得到的矩阵 就具有性质。事实上，由于 来源于 ，所以性质的前两条是成立的。而 的计算基于加权平均，所以当 、 时， 、 、 ，第四条性质也得到了满足。剩下的就是通过具体计算，验证性质的第三条了（略）。 简单地采用算术平均（先算平均值，再代入矩阵 ） ， ， 或者先求出矩阵 、 ，再计算平均矩阵 都不能给出具有性质的矩阵。 6.4 MUSCL方法 上面给出的守恒型迎风格式只有一阶精度，文献中通常称为一阶Roe格式。 为了提高精度，可以像通量分裂方法那样，采用MUSCL方法。为此，分别用守恒变量的左极限和右极限代替 和 ，即： 在计算数值通量 时，