一、二、三章习题解答.pdfVIP

习题解答 习题1.1 1．一质量为 的物体，从高度 处以初速度 铅直向上抛出．设空气的阻力与速度 m s v 0 0 成正比，试求物体的运动规律所满足的微分方程，并写出初始条件． 解 如图建立坐标系，设时刻 时物体的高度为 ．因物体所受的合力为 t x (t ) f mg k dx dt ，方向向下，由Newton 第二定律可得 2 d x dx m mg k （ 为常数）， k 0 dt2 dt 化简后可得微分方程 2 d x k dx 2 g 0 ． dt m dt 若令 ，则得速度 满足的一阶微分方程 dx dt v v dv k v g 0 ， dt m 相应的初始条件为 v(0) v ． 0 2 ．一高温物体在  的恒温介质中冷却．设在冷却过程中降温速度与物体和其所在 20 C 介质的温度差成正比．已知物体的初始温度为 ，试求物体的温度 所满足的微分方程， u u(t) 0 并写出初始条件． 解 设时刻 时物体的温度为 ，由Newton 冷却定律可得微分方程 t u(t) du （ 为常数）， k (u 20) k 0 dt 相应的初始条件为 u(0) u0 ． 3 ．已知曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横 坐标和纵坐标的等差中项，试求这曲线所满足的微分方 程． 解 如图所示建立坐标系，设所求曲线为y y (x ) ， 曲线上的坐标为(x, y ) ，过点(x , y ) 处的切线上的坐标 为(X ,Y ) ，则切线方程为 Y y y( X x) ， 易见该切线在纵轴上的截距为 b y xy ． 由条件可知 1 x y y xy