广工线代习题解答.docVIP

习题一 2．解： (5) 在排列1 3 … (2n﹣1) 2 4 …(2n)中， 1排在首位，逆序数为0； 3的前面比3大的数不存在，故逆序数为0； …… (2n﹣1)的前面比(2n﹣1)大的数不存在，故逆序数为0； 2的前面比2大的数有(n﹣1)个，即3 5…(2n﹣1)，故逆序数为(n﹣1)； 4的前面比4大的数有(n﹣2)个，即5 7 …(2n﹣1)，故逆序数为(n﹣2)； …… (2n﹣2)的前面比(2n﹣2)大的数由1个，即(2n﹣1)，故逆序数为1； (2n)是最大数，故逆序数为0． 于是这个排列的逆序数为 (6) 在排列1 3 … (2n﹣1) (2n) (2n﹣2) …4 2中， 1排在首位，逆序数为0； 3的前面比3大的数不存在，故逆序数为0； …… (2n﹣1)的前面比(2n﹣1)大的数不存在，故逆序数为0； (2n)是最大数，故逆序数为0； (2n﹣2)的前面比(2n﹣2)大的数由2个，即(2n)和 (2n﹣1)，故逆序数为2； …… 4的前面比4大的数有2(n﹣2)个，即5 6 …(2n)，故逆序数为2(n﹣2)； 2的前面比2大的数有2(n﹣1)个，即3 4…(2n)，故逆序数为2(n﹣1)． 于是这个排列的逆序数为 4．解：(1) 5．解： (1) 故当或时，上述行列式等于零． (2) 错误解法：根据行列式的性质2的推论可知，若行列式等于零，则该行列式必有两行（列）完全相同．于是或或． 错误原因：命题“若行列式等于零，则该行列式必有两行（列）完全相同”不一定成立．例如当时，，但该行列式并不存在完全相同的两行（列）． 解法一：这是4阶范德蒙行列式，于是 因为互不相等，要使得上述行列式等于零，则必有或或． 解法二：显然当或或时，成立． 又因为是一个关于的3次多项式，故方程在复数范围内存在3个根（重根按重述计算），所以要使得这个4阶范德蒙行列式等于零，则必有或或． 9．解法一：，，，，于是 解法二：仿照P.21例13，得 10．解：，，，，，从而 ，，， 习题二 8．证明：因为是对称阵，所以，从而 即也是对称阵． 9．证明：因为、都是对称阵，所以，． 必要性（由是对称阵证明） 因为是对称阵，所以． 充分性（由证明是对称阵） 因为，所以是对称阵． 12．解： (2) 记，则，，于是 14．解： 16．解：因为，所以． 又因为，，存在，于是 22．证明：因为，所以 (1) ，于是，从而，即可逆，且． (2) ，于是，从而可逆，且 23．证明：因为可逆，所以．又，故，即也可逆，且 又，故． 综上所述，有． 24．证明： (1) 当时，．下面用反证法证明． 设，则可逆，于是，从而，，矛盾，假设不成立，命题得证．故当时，． 注意：证明过程中不能出现，因为当时，不可逆． (2) 当时，． 当时，，，． 26．解：是一个分块对角矩阵，那么 27．解： (1) 错误解法：根据，所以 正确解法：求就是求阶方阵，使得． 根据的分块情况，对X作相应的分块，设，那么 根据矩阵相等的定义，有， 因为、可逆，所以，即 (2) 同理，可得 习题三 3．解： (1) 设的行最简形矩阵为，因为，即经过一系列初等行变换变为，所以存在2阶可逆矩阵，使得． 根据 如果对矩阵作初等行变换，当变为时，就变成，即为所求． 此时的行最简形为，而使得的2阶可逆矩阵． (2) 设的行最简形矩阵为，因为，即经过一系列初等行变换变为，所以存在3阶可逆矩阵，使得． 根据 如果对矩阵作初等行变换，当变为时，就变成，即为所求． 此时的行最简形为，而使得的2阶可逆矩阵 ． 注意： 此时的行最简形为，而使得的2阶可逆矩阵 ． 由此可知，本题中使得的2阶可逆矩阵不是唯一的． 相关的例子可参考课本P.64例1． 11．证明：必要性由P.67定理2可知． 充分性 若、都是矩阵，，则、具有相同的标准形矩阵 因为，，所以根据等价关系的传递性，可得． 12．解： 当且时， 当时， 当时， 19．证明： (1) 充分性 设存在非零列向量及非零行向量，使得，于是． 不妨假设，，其中，． 因为，所以的(1, 1)元，从而．于是． (2) 必要性 设，那么的标准形矩阵为，且存在阶可逆矩阵及阶可逆矩阵，使得．于是 其中，分别为阶非零列向量和阶非零行向量． 20．错误解法：根据课本P.70例题9以及P.79.11的结论，有，从而，从而线性方程与同解． 错误原因：因为，所以、未必是同型矩阵．若、不是同型矩阵时，不可能有成立． 解法一：设矩阵，根据课本P.70例题9的结论，有．记，于是的行最简形矩阵为，的行最简形矩阵为．显然与同解，从而线性方程与同解． 解法二：设是列满秩矩阵，那么的行最简形矩阵为，且存在阶可逆矩阵，使得． 于是，即，从而线性方程与同解． 解法三：设是的解