直角四面体性质初探.doc

直角四面体性质初探 湖南省洞口一中　曾维勇 平面几何中的直角三角形有着举足轻重的地位，诸如“勾股定理”、“射影定理”等 等许多性质，是为大家所非常熟悉的，但在立体几何中，与之息息相关的直角四面体， 学生大都比较陌生。本文将结合直角三角形的有关性质，对直角四面体这一特殊几何图 形的性质作一简介。 1、概念 1．1 定义： 从同一个顶点出发引三条两两互相垂直的棱所成的四面体叫直角四面体。 1．2 判定：定义法或以下几种情形。 (1)．三组对棱都互相垂直且有一个面角为直角的四面体是直角四面体； 　(2)．有一个三面角的面角均是直角的四面体叫做直角四面体； 　(3)．正四面体D—ABC中，过顶点D的高线DH的中点设为点O， 则OABC是直角四面体。 1．3 图形：直角四面体O—ABC中， AＯＢ=BOC=COA＝， 有图一、图二两种习惯画法。 　　（1）．顶点式 　　　　　　　　 　　　　（２）．直立式 　　　　　　　　　 1．4　特征：如图一、图二所示。 　　 (1)．点O叫做直角(四面体)顶点； 　　(2)．OA、OB、OC叫直角棱，其棱长分别设为a、b、c； 　　(3)．面AOB、面BOC、面COA称作三个直角面，其面积 分别记为Ｓ、Ｓ、Ｓ； (4)．底面ABC又叫做斜面，面积记作S； 　　(5)．点P为斜面ABC内任意一点，特殊地，OH面ABC时， 称OH为斜面ABC上的高。 2、性质 2．1 点O在斜面ABC上的射影H是斜面ABC的垂心。 　　　 如图一，连CH交AB于点D， CO面AOB，由三垂线定理的逆定理 知ABCH．同理可证：BC AH、ACBＨ H为ABC的垂心。 2．2 以、、 为三个基向量，以OP为体对角线构造长方体， 　则OP与OA、OB、ＯＣ所成的方向角 、、 满足方向余弦公式： cos+cos+cos=1；且OP与三个直角面所成角满足：cos+ cos+cos=2, 据此，参照图一中有关直角三角形角度间的关系， 在直角四面体O—ABC中，有： 　　 (1)．下列几种情形均有： cos+cos+cos=l I、OP (含OH ) 与OA、OB、OC所成角、、； Ⅱ、AB(或BC、AC)与OA、OB、OC所成的角； Ⅲ、斜面ABC与三个直角面所成的二面角。 (2)．下列情形都满足： cos+cos+cos=2 I、OP (含OH)与三个直角面所成的角、、 ； Ⅱ、斜面ABC与OA、OB、OC所成的线面角； Ⅲ、AB(或BC、AC)与三个直角面所成的角。 2．3 斜面为锐角且 S= (1)．AB＋AC－BC＝2a0，由余弦定理得 cosA 0， 即A是锐角， 同理可证B、C也是锐角 　　　　 ABC是锐角三角形， 或可由运动变化观点每个锐角的取值范围是(0，)． 　 　(2)．若三角形三边长分别为a、b、c，且2ｐ＝a+b+c，由古希腊“海伦公式”：　　　　　 S=，　　 或由南宋秦九韶“三斜求积公式”： ， 　 即可证得公式，　　特殊地， 当ａ＝ｂ＝ｃ时，有＝． 2．4　在平面几何里，有勾股定理：“设ABC的两边AB、AＣ互相垂直，则AB ＋AＣ＝BＣ”．拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的 侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：　“直角四面体中 S＝＋＋．”(由2003年新课程卷填空题改编) 　　　　　　　　在图一中，由面积射影公式得 　　　　　cos=,　cos,　cos,　结合2．２（１）III　得： 　　　　　，化简得：． 2．5 某直角面的面积是它在斜面上的射影面积与斜面面积的比例中项。 如图—，　　 　　　　 2．6 点P到三直角面的距离依次设为x、ｙ、ｚ时，则有： 　　　 　　　(1)．　　　 　　　　　　 　　　　化简后关系式得证。 　(2)．当点P移到点H位置时，设OH=h，由ＯＤ?ＡＢ＝OA?OB， OＣ?OＤ＝OH?CD，ＣＤ＝ＯＣ＋ＯＤ　可得另一关系式： 　　　　， 特别当ａ＝ｂ＝ｃ时，h＝，这与由向量法(利用点H为正ABC 的重心)　 　两边取模的平方推得： 　　 即h＝相吻合。 2．7 联想到直角三角形的内切圆半径公式：r＝，由 2．6　(1)　的切割等积法，易证直角四面体的内切球半径公式： ｒ＝ 且数形结合知内切球球心是直角四面体的各个二面角的平分面的交点。