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向量的坐标表示与坐标运算 授课人：呼建强 教学目标： 1、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； 2、会用坐标表示平面向量的加法、减法以及数乘向量运算。 教学重点： 1、平面向量的坐标表示； 2、平面向量的加法、减法以及数乘向量的坐标运算。 教学难点： 向量与坐标间的对应关系 教学过程： 一、导入新课 【提问】1. 平面内建立直角坐标系后，点与数对（x，y）存在什么关系？（一一对应） 平面向量与数对是否也能建立对应关系？（当不共线的基底确定后，平面向量就与唯一实数对（λ1，λ2）对应） 复习平面向量基本定理。 【投影】如果，是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量，存在一对实数λ1，λ2，使 =λ1+λ2 平面向量能否用坐标来表示？（当我们选取特殊的基底向量——x轴、y轴上两个单位向量, 时，向量就可以有直角坐标系下的坐标唯一确定） 二、推进新课 【板书】平面向量的坐标表示与坐标运算 （一）平面向量的坐标表示 【投影】 【投影】在平面直角坐标系中，如图所示，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量, 作为基底，对于平面内的任意向量，以坐标原点O为起点作=，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使 =x+y 因此 =x+y。 我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作 ＝(x，y) 上式是向量的坐标表示，其中x叫在x轴上的坐标，y叫在y轴上的坐标． 【讲述】与向量对应的数对称为向量的坐标，要求向量的基底应是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量, ，即定义中的=(1, 0)，=(0, 1)。 【提问】1. 点A的位置由谁决定？（由起点为原点的向量决定） 点A的坐标与向量的坐标的关系是什么？（两者相同） 两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？（两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等，即=?x1=x2,y1=y2） 【讲述】当向量的起点被限定在原点时，作=，这时向量的坐标就是点A的坐标，点A的坐标就是向量的坐标，二者之间建立了一一对应关系. 【板书】向量与点A和有向线段间的对应关系 【投影】例1．如图，用基底，分别表示向量，，，，并求它们的坐标。 【板书】解：=2+3=（2,3） =2+3=（2,3） =2+3=（2,3） =2+3=（2,3） （二）平面向量的坐标运算 【提问】1. 已知=(x1, y1) =(x2, y2)，求+，?的坐标。 2. 已知 (x, y)和实数λ，求λ的坐标。 【投影】(1) 若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则 ＋＝(x1＋x2，y1＋y2)， －＝(x1-x2，y1-y2)． 这就是说，向量的和与差的坐标分别等于各向量相应坐标的和与差。 (2) 若＝(x，y)，λ为实数，则λ＝(λx，λy)。 这就是说，实数与向量积的坐标分别等于实数与向量的相应坐标的乘积。 (3) 如图2-30，给定点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 =?=( x2, y2) ? (x1, y1) = (x2? x1, y2? y1) 这就是说，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。 【板书】（1）+=(x1+y1)+( x2+y2)=(x1+ x2) + (y1+y2) 即：+=(x1+ x2, y1+y2) 同理：?=(x1? x2, y1?y2) （2）λ=λ(x+y)=λx+λy 即：λ=(λx, λy) 【讲述】引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化，成了数与形结合的载体． 向量的坐标表示，实际是向量的代数表示．在引入向量的坐标表示后，即可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合了起来．要注意： 向量坐标可以运算，但点的坐标不能进行运算． 已知向量的始点和终点坐标求向量的坐标时要搞清方向，用终点的坐标减去起点坐标. 【投影】例2 已知＝(3，4)，＝(-1，4)，求+，-，2-3的坐标。 【板书】解：+=(3,4)+(-1,4)=(2,8) -=(3,4)-(-1,4)=(4,0) 2-3=2(3,4)-3(-1,4)=(6,8)-(-3,12)=(9,-4) 【投影】例3 已知平面上三点的坐标分别为A(?2, 1), B(?1, 3), C(3, 4)，求平行四边形ABCD的顶点D的坐标。 【助学】请同学们利用向量的思想解决问题。画出草图。 【提问】有图可得什么结论？ 【板书