最小势能原理.pdfVIP

第1 卷 第2 期 清远职业技术学院学报 Vol. 1 , No. 2 2008 年12 月 Journal of Qingyuan Polytechnic December. 2008 弹性力学最小势能原理 魏淑强 同济大学土木工程学院 上海 200092） （ 摘要：处于稳定平衡状态的弹性体，真实的位移使弹性体的总势能取最小值，这就是最小势能原理。 关键词：最小势能原理；虚功原理；弹性力学 中图分类号：O343 文献标识码：A 文章编号：1674- 4896 （2008）02- 0116- 02 最小势能原理就是说当一个体系的势能最 上式推导中，应用了格林公式 ， 小时，系统会处于稳定平衡状态。举个例子来 将上式代入虚功方程，则 说，一个小球在曲面上运动，当到达曲面的最 低点位置时，系统就会趋向于稳定平衡。 势能最小原理与虚功原理本质上是一致的。 宇宙万物，如果其势能未达到 “最小” （局部 上式表示外力虚功等于弹性体应变能的一阶变 概念），它总要设法变化到其 “相对”最小的势 分。定义外力势能为 能位置。举个例子：一个物体置于高山上，它 相对于地面来说有正的势能（非最小），因而它 总有向地面运动的 “能力” （向地面“跃迁”， 其力学本质是它处于一种不稳平衡状态）。因 注意到虚位移与真实的应力无关，因此在 此，它试图（也只有）向下运动，才能保证其 虚位移过程中外力保持不变，即变分与外力无 达到一个相对平稳的状态。 关。而且积分和变分两种运算次序可以交换的， 最小势能原理是势能驻值原理在线弹性范 所以外力势能的一阶变分可以写作 围里的特殊情况。对于一般性问题：真实位移 状态使结构的势能取驻值（一阶变分为零），在 线弹性问题中取最小值。 形象地说，当你在一百米高的钢丝绳上走 回代可得 的时候你总是希望尽早回到地上，但其实只要 其中Et 称为总势能，它是应变分量的泛函。 你不动你也是平衡的，因为驻值也可以是极大 由于应变分量通过几何方程可以用位移分量表 值（此时称为随遇平衡）。而当你在一百米高的 示，所以总势能又是位移分量的泛函。 大楼里的办公室里时，你并不害怕，因为周围 的物体的势能均不比你小，此时驻值取的是极 小值而不是最小值。 1 根据虚功方程推导仅应用于弹性体的最小势 公式表明，在所有几何可能的位移中，真 能原理 实位移将使弹性体总势能的一阶变分为零，因 设应变能密度函数是应变分量的函数，则 此真实位移使总势能取驻值。 应变能密度函数的一阶变分为 2 以下证明：对于弹性体的稳定平衡状态，总 势能将取最小值 将几何可能位移对应的应变代入总势能表 达式，可以得到几何可能位移对应的总势能 收稿日期：2008- 11- 26 作者简介：魏淑强(1984—)，山东日照人，硕士。 116 第1 卷 清远职业技术学院学报 2008 年