天津大学现代控制理论4.pdfVIP

4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义 4.2 李雅普诺夫第一法 4.3 李雅普诺夫第二法 4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 4.5 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义 4.1.1 系统状态的运动及平衡状态 设所研究系统的齐次状态方程为 （1） 式中， 为 维状态矢量； 为与 同维的矢量函数，它是工的 各元素 和时间 的函数。一般地，为时变的非线性函 数。如果不显含 ，则为定常的非线性系统。 设方程式(1)在给定初始条件 下，有唯一解： （2） 式中， 为表示 在初始时刻 时的状态； 是从 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 开始观察的时间变量。 式(2)实际上描述了系统式(1)在n 维状态空间中从初始条件 发的一条状态运动的轨迹，简称系统的运动或状态轨线。 若系统式(1)存在状态矢量 ，对所有 ，都使： （3） 成立，则称 为系统的平衡状态。 对于一个任意系统，不一定都存在平衡状态，有时即使存在也未必是唯 一的，例如对线性定常系统： （4） 当A为非奇异矩阵时，满足 的解 是系统唯一存在的一个 平衡状态。而当A为奇异矩阵时，则系统将有无穷多个平衡状态。 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 对非线性系统，通常可有一个或多个平衡状态。它们是由方程式(3)所 确定的常值解．例加系系统： 就有三个平衡状态： 由于任意一个已知的平衡状态，都可以通过坐标变换将其 移到坐标原点 处。所以今后将只讨论系统在坐标原点处的稳定性就可以了。 4.1.2 稳定性的几个定义 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 若用 表示状态矢量 与平衡状态 的距离，用点集 表示 以 为中心 为半径的超球体，那么 ，则表示： （5） 式中， 为欧几里德范数。 在n维状态空间中，有： （6） 当 很小时，则称 为 的邻域。因此，若有