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采用一题多解 提高学生积分能力 　　中图分类号：G633.3 文献标识码：A文章编号：1673-0992（2011）01-0358-01 　　摘要：本文通过一题多解来展现积分计算的方法和技巧，提高学生求不定积分和定积分的能力，扩展了积分的解题思路。 　　关键词：积分计算；一题多解 　　积分计算是高等数学十分重要的内容之一，也是教师教学的重点和难点。由于这一部分理论概念相对较少，积分运算是微分运算的逆运算，积分技巧性和灵活性较强，采用何种积分方法没有固定的解题方法，所以学生在学习这一部分时往往感到非常困难，在解题时不知如何入手。而一题多解通过采用不同的方法解题，能开拓思路，提高解题技巧，积累解题经验，探索解题规律，增长学生发散思维能力。所以在积分计算这一部分的教学过程中，教师有意识地引导学生采用一题多解，对于学生迅速掌握各种不同的积分方法、积分思路大有裨益，而且还能够培养学生的开放性思维。 　　例１：求 　　思路：被积函数是一个超越函数，设想通过变量替换 或 就很有可能把被积函数转化成代数函数，从而使积分化简。 　　解法一 令,则，于是 　　 　　 　　解法二 令 ,则，，，于是 　　 　　= 　　解法三其实不用变量替换，而采用“添项减项”的恒等变形方式，亦能很快得到结果。 　　 　　解法四 　　 　　例2，计算 　　此题是被积函数含有绝对值的定积分，题目较简单，主要让学生通过一题多解，掌握解题方法，并对各种解法进行比较。 　　解法一 　　解法二 　　解法三 　　 　　以上是学生解此题常用到的三种方法，让学生进行讨论比较，解法一是被积函数含绝对值的一般积分方法；解法二是充分利用奇函数在对称区间上的定积分等于0这一重要性质，将积分区间分割成这两个区间，避开了去根号的符号讨论，克服了本题的难点，计算最为简捷；解法三是利用强大的代数恒等变形和凑微分技巧，可以活跃学生思路，体会到积分方法的多样性。 　　例3，计算 　　 　　 　　这是三角函数有理式的积分题，同学们自然会立即想到解决此类题目的立足点――万能代换，这当然是不错的。 　　解法一 令, 　　于是 　　 　　 　　但是除此之外，是否还有其他解法呢？三角函数有着丰富的恒等变形，这往往给我们提供了丰富的突破口，只要一想到这点，种种方案就立刻翩翩浮现在我们眼前： 　　解法二 　　解法三 　　 　　解法四 　　解法五 　　通过上述例子可以体会到不定积分和定积分的解法是多样化的，灵活的，对于同一道题目往往可以采用不同的方法解决，通过多种解法的训练，不仅能巩固基本知识，掌握基本积分技巧，而且有助于培养学生全面分析问题的能力，培养具有灵活性和多向思维能力。 　　 　　参考文献： 　　1.高等数学解题方法指导，成都科技大学出版社，1995年第一版。 　　2.不定积分的一题多解。玉林师范学院学报（自然科学）2005年第3期 　　 　　作者简介：陈国栋 (1974--)，男，重庆市垫江人，数学讲师。从事高等数学教学及教学科研工作。 4