2014年新人教A版高中数学必修4 2.2“平面向量的线性运算”课件.pptVIP

* 2.2 平面向量的线性运算 1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？ 2.用有向线段表示向量，向量的大小和方向是如何反映的？什么叫零向量和单位向量？ 3.两个实数可以相加，从而给数赋予了新的内涵.如果向量仅停留在概念的层面上，那是没有多大意义的.我们希望两个向量也能相加，拓展向量的数学意义，提升向量的理论价值，这就需要建立相关的原理和法则. 探究一：向量加法的几何运算法则 思考1：如图，某人从点A到点B，再从点B按原方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？ A B C 思考2：如图，某人从点A到点B，再从点B按反方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？ A B C 探究二：向量减法的含义 思考1：两个相反向量的和向量是什么？向量a的相反向量可以怎样表示？ 思考2：－a的相反向量是什么？零向量的相反向量是什么？ 规定：零向量的相反向量仍是零向量. －（－a）=a －a 在实数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数.据此原理，向量a－b可以怎样理解？ 两个向量的差还是一个向量吗？ 向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差向量，求两个向量的差的运算叫做向量的减法，对于向量a，b，c，若a+c＝b，则c等于什么？ 定义：a－b＝a＋（－b）. a+c＝ b c = b －a 探究三：向量的数乘运算及其几何意义 已知非零向量a，如何求作向量a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋ （－a）？ a －a －a －a O M N P （－a）＋（－a）＋（－a） 向量a＋a＋a和（－a）＋ （－a）＋（－a）分别如何简化其表示形式？ a＋a＋a记为3a， （－a）＋（－a）＋（－a）记为－3a. 向量3a和－3a与向量a的大小和方向有什么关系？ a a O a a A B C －a －a －a O M N P 设a为非零向量，那么 a和 a还是向量吗？它们分别与向量a有什么关系？ a a a 一般地，我们规定：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作λa，该向量的长度与方向与向量a有什么关系？ （1）|λa|=|λ||a|； （2）λ0时,λa与a方向相同； λ0时,λa与a方向相反； λ=0时,λa =0. 探究四:向量的数乘运算性质 你认为－2×（5a），2a＋2b， a可分别转化为什么运算？ -2× (5a)= -10a ； 2a ＋ 2b = 2(a+b)； (3＋ )a =3a＋ a. 一般地，设λ，μ为实数，则λ(μa)，(λ＋μ) a，λ(a＋b)分别等于什么？ λ(μa)=(λμ) a ； (λ＋μ) a =λa ＋μa； λ(a＋ b)=λa＋λb. 对于向量a（a≠0）和b，若存在实数λ，使b=λa，则向量a与b的方向有什么关系？ 若向量a（a≠0）与b共线，则一定存在实数λ，使b=λa成立吗？ 综上可得向量共线定理：向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b=λa. 若a＝0，上述定理成立吗？ 若存在实数λ，使 ，则A、B、C三点的位置关系如何？ 如图，若P为AB的中点，则 与 、 的关系如何？ A B P O 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、x、y，λ(xa±yb）可转化为什么运算？ λ(xa±yb）=λxa±λyb. * * *