八年级数学上册期末专题复习例谈分式运算过程中的常用技巧(Word版含解析变式和课外选练).docVIP

例谈分式运算中的一些常用技巧 在数式的相关运算中，分式的运算是同学们感到比较头疼的，含分式的综合解答题的正确率也比较低；其实分式的运算涵盖知识点多，技巧性强，是很能考查数学素养的.分式的运算之所以容易计算错误，除了知识上原因，方法技巧也很重要；我觉得除了要掌握常规的计算方法，有必要掌握一些计算的技巧，下面我精选一部分含分式的解答题，让我们共同来探究. 1、先约分、再计算： 例.计算： 分析：按常规的解法本题应先找出两个分式分母的最简公分母后通分，化成同分母的分式后再相加；细心的同学会发现，若把两个分式的分子、分母分解因式后，先约分就已经是同分母了，就“省去”了通分的过程；相比较先约分、再相加显得更为简捷. 解：原式= 变式训练： 2、分步通分： 例.计算： 分析：本题中原所有分式的最简公分母是，若按此通分解答过程的繁琐性就不用说了；如果我们进行分组、分步通分就不会因为出现“庞大”的分子导致在计算中出错；比如，若我们先计算，最简公分母为即，则 ，后面的如法炮制，过程清楚，计算简便. 解:原式 = 变式训练：①.；②.. 3、整体通分法： 例.计算： 分析：本题若把分成两项与后面的通分在想加减，要多一些计算的过程；若把看成一个整体，即再与后面的通分显然更简单. 解：原式= 变式训练： 4、巧用裂“项”法： 例. 计算： 分析：本题若将原式通分再相加，进行手工计算的式子有多长，时间耗费多少就不言而喻了.仔细分析，我们类比小学的：这个裂“项”的技巧，有：，以此类推，最后互为相反数特征的不和为0，最后计算就简便了.真可谓是“四两破千斤”. 解：原式= = = = = 变式训练： 5、利用分配律： 例.计算： 分析：本题有两种解法.其一、按常规解法先算括号里面的，见下面的方法1；其二、用分配律进行运算，见下面的解法2.两种方法比较方法2更简单. 略解：（方法1：先算括号里的） 原式= = = = （方法2：利用分配律） 原式= = = = = 变式训练： 6、巧代换： 例.设，求的值？ 分析：由，可知，且；若将题中最前面的分式分子、分母都乘以，中间的分式的分母换成，本题的三个式子就将非常巧妙化成了同分母的分式，一切问题便都迎刃而解了. 解：∵ ∴，且 ∴原式 = 点评：本题在破解题上有些特殊性，须从才能看的出些端倪；当我们把中间分式的换成后，就很容易看得出后面两个是同分母的分式了，在通过第一个分式的变形、代换来“服从”另外两个分式.从本题我们得到的启发是代数式的变形除了要顺逆两用、加减乘除等来帮忙、还要注意数式之间的相互转换. 7、设参法（辅助未知数法）： 例.已知，求的值？ 分析：本题通过的条件可以找出之间的关系，然后变换代入进行分式的约分，但过程繁杂.若设，则，代入后进行计算就比较简单了（这里起个辅助作用，最后会约去的）. 解：设，则，代入： 变式训练：已知，求的值. 8、“因式分解”法： 例.计算： 分析：本题若按常规解法，就要先算括号里面的，也就是要分别通分后相加减后再进行后面的运算，步骤是比较多的.我们发现，可以借用整式中分解因式的技巧，将分解成，然后进行约简. 解：原式= = = = 变式训练： 9、乘方法、倒数法： 例.已知，求①、；②、；③、. 分析：本题按常规解法将要求的式子配方，然后再整体代入求值.有的同学对于配方一类的题显得有些吃力，基础较弱的同学对积的2倍是个常数觉得抽象.其实根据本题的条件和要求的代数式①和②，若用等式两边同时同次方的乘方法仍是在意义条件范围内；③题可以用倒数（分子、分母颠倒）的办法解决. 略解： ①. ②. ③.设，则 ∴，即. 变式训练：⑴.若，求①. ；②. ；③. 的值. ⑵.若，试求的值. 10、去分母法： 例.已知：都是正实数，且，求的值？ 分析：两头凑，从已知出发通过去分母或通分很容易得出与之间的关系而要求的代数式变形后是以与为结构的. 解： ∴ 变式训练：若，求的值. 11、分类讨论： 例.已知，判断一次函数一定经过那些象限？ 分析：要判断一次函数一定经过那些象限的关键是要确定的取值情况，而的取值和有关，由于本题未给定的条件，所以要进行讨论. 在当均不等于0的情况下，分为和进行讨论，见下面的解答. 解：⑴.当均不等于0且时，有，即，此时一次函数的图象经过一、三、四象限. ⑵.当当