解析几何专题汇编1和椭圆有关的垂直问题.docVIP

第一部分、与椭圆有关的垂直问题 1．（08广州一模）已知曲线上任意一点到两个定点和的距离之和为4． （1）求曲线的方程； （2）设过的直线与曲线交于、两点，且（为坐标原点），求直线的方程． 解：（1）根据椭圆的定义，可知动点的轨迹为椭圆， 其中，，则． 所以动点M的轨迹方程为． （2）当直线的斜率不存在时，不满足题意． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，， ∵，∴． 　　 ∵，，∴． 　　　∴ ．………… ① 由方程组得． 则，， 代入①，得． 即，解得，或． 　所以，直线的方程是或． 2．(08辽宁)在平面直角坐标系xOy中，点P到两点（0，－）、（0，）的距离之和等于4.设点P的轨迹为C. (Ⅰ)写出C的方程； (Ⅱ)设直线y=kx+1与C交于A、B两点.k为何值时此时||的值是多少？ （Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点， 长半轴为2的椭圆．它的短半轴， 故曲线C的方程为． （Ⅱ）设，其坐标满足 消去y并整理得， 故． ，即．而， 于是． 所以时，，故． 当时，，． ， 而，所以． 3．已知圆M的方程为： 及定点N（3，0），动点P在圆M上运动，线段PN的垂直平分线交圆M的半径MP于Q点，设点Q的轨迹为曲线C。 （1）求曲线C的方程； （2）试问：过点T（是否存在直线，使直线与曲线C交于A，B两点，且，（O为坐标原点）若存在求出直线的方程，不存在说明理由。 解：（1）由于 得：（定值）所以得动点Q的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，由M（-3，0）N（3，0）知且中心在原点对称轴为坐标轴，得Q点的轨迹方程是： （2）假设存在这样的直线，当斜率不存在时，A,O ,B 共线，显然不满足条件，从而知直线的斜率存在，设为：，得直线的方程为：即：与椭圆联立有： 整理得： 两边同时除以： 得： 设直线交曲线C的坐标为：A（，B由于得：从而有： 又因为 和是方程（A）的两个实根，由根与系数的关系得： ，得：， 故：存在这样的直线，其方程是： 4．已知向量，O为坐标原点，动点M满足： （1）求动点M的轨迹C的方程； （2）是否存在过D（0，2）的直线与轨迹C交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆过原点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。 5．已知长方形ABCD, AB=2,BC=1.以AB的中点为原点建立如图8所示的平面直角坐标系.(Ⅰ)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程; (Ⅱ)过点P(0,2)的直线交(Ⅰ)中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由. 解:(Ⅰ)由题意可得点A,B,C的坐标分别为. 设椭圆的标准方程是.则 .椭圆的标准方程是 (Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线的方程为. 设M,N两点的坐标分别为 联立方程: 消去整理得, 有 若以MN为直径的圆恰好过原点,则, 所以, 所以,, 即 所以, 即 得 所以直线的方程为,或. 所以存在过P(0,2)的直线:使得以弦MN为直径的圆恰好过原点. 6． 解: 的左、右焦点分别为F1、F2。F2也是抛物线C2：的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且。 （1）求C1的方程； （2）平面上的点N满足，直线l∥MN，且与C1交于A、B两点，若·=0，求直线l的方程。 解：（Ⅰ）由：知． 设，在上，因为，所以，得，． 在上，且椭圆的半焦距，于是 消去并整理得 ， 解得（不合题意，舍去）． 故椭圆的方程为． （Ⅱ）由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点， 因为，所以与的斜率相同， 故的斜率．设的方程为． 由 消去并化简得 ． 设，，，． 因为，所以． ． 所以．此时， 故所求直线的方程为，或． 8．设直线过双曲线的一个焦点，交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，若，求的值。 9．已知：点P是椭圆上的动点，、是该椭圆的左、右焦点。点Q满足与是方向相同的向量，又。 (Ⅰ) 求点Q的轨迹C的方程； (Ⅱ) 是否存在斜率为1的直线l，使直线l与曲线C的两个交点A、B满足？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由。 解：（1）由椭圆方程知，，得， ∴ ， ∵ 与是方向相同 ∴ 点Q在F1P的延长线上，且有， ∴ 点Q的轨迹C是圆，圆心为F1，半径为4， ∴ C的方程为 （2）假设存在直线l：满足条件， 由 消去，得 ∵ △， ∴ 设，则， ∵ ∴ 而