北师大版必修4高中数学1.2“角的概念的推广”课件.pptVIP

方法一：当k为偶数时，令k=2n(n∈Z)，则n×360°+90° ＜ ＜n×360°+135°(n∈Z) ， 此时， 属于第二象限角 当k为奇数时，令k=2n+1 (n∈Z)，则n×360°+270°＜ ＜n×360°+315°(n∈Z) ， 此时， 属于第四象限角 方法二： 终边所在区域如图所示 因此 属于第二或第四象限角． 【互动探究】已知角α所在象限为第二象限,求2α、 所在象限. 【解析】∵α为第二象限角, 则k×360°+90°＜α＜k×360°+180°,k∈Z. ∴2k×360°+180°＜2α＜2k×360°+360°,k∈Z. ∴2α是第三或第四象限角,以及终边落在y轴的非正半轴上的角. 又k×180°+45°＜ ＜k×180°+90°,k∈Z. 当k为偶数时，令k=2n(n∈Z),则n×360°+45°＜ ＜ n×360°+90°, 为第一象限角. 当k为奇数时,令k=2n+1(n∈Z),则n×360°+225°＜ ＜ n×360°+270°, 为第三象限角. ∴ 为第一或第三象限角. 终边具备对称性的角之间的关系 在平面直角坐标系中，若两个角的终边具备对称性，那么它们就有一定的关系.解此类问题时，要先利用逆转加正角，顺转加负角的方法，转化为两个角终边重合的情况，然后由终边相同的角的集合就可将所求角表示出来.一般地： 终边与已知角的终边关于直线或特殊点对称的角的表示 (1)α与β的终边关于x轴对称，则α+β=k×360°，k∈Z. (2)α与β的终边关于y轴对称，则α+β=(2k+1)×180°，k∈Z. (3)α与β的终边在一条直线上，则α-β=k×180°，k∈Z. 【例】(1)60°与-60°角的终边有什么对称性？ (2)120°与-120°角的终边有什么对称性？ (3)420°与-420°角的终边有什么对称性？ (4)试猜想角α与-α的终边有什么对称性？ 【审题指导】解答本题的关键是注意逆时针旋转为正角、顺时针旋转为负角，在平面直角坐标系中作出有关角进行判断，从中发现规律. 【规范解答】 (1)如下图所示，60°与-60°角的终边关于x轴对称. (2)如下图所示，120°与-120°角的终边关于x轴对称. (3)如下图所示，420°与-420°角的终边关于x轴对称. (4)由(1)(2)(3)可猜想角α与-α的终边关于x轴对称. 【变式备选】若角 α与β的终边关于 y轴对称，则 α与 β的关系是________；若角 α与 β的终边互相垂直，则 α与 β的关系是________． 【解析】因为角 α与β的终边关于 y轴对称, 所以-α与β的终边互为反向延长线. 所以-α+180°与β的终边重合. 所以β=-α+180°+k×360°(k∈Z). 所以α+β=180°+k×360°=(2k+1)×180°(k∈Z). 因为角 α与 β的终边互相垂直. 所以α与 β+90°或α与 β-90°的终边重合, 所以α=β+90°+k×360°(k∈Z)或 α=β-90°+k×360°(k∈Z). 答案：α+β=(2k+1)×180°(k∈Z) α-β=±90°+k×360°(k∈Z) 【典例】(12分)已知集合A=｛α｜30°+k×180°＜α＜90°+k×180°，k∈Z｝，B=｛β｜-45°+k×360°＜β＜45°+k×360°，k∈Z｝. (1)试在平面直角坐标系内画出集合A和B中的角的终边所在的区域. (2)求A∩B. 【审题指导】集合A中的角的终边所在的区域是“对角形”区域，集合B中的角的终边所在的区域是扇形.终边在这两个区域的公共部分内的角的集合就是A∩B. 【规范解答】(1)如图所示 ………………………………4分 集合A中的角的终边在阴影(Ⅰ)内， 集合B中的角的终边在阴影(Ⅱ)内.………………………6分 (2)集合A∩B中的角的终边 在阴影(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共部分内，………………………8分 所以A∩B=｛γ｜30°+k·360°＜γ＜45°+k·360°， k∈Z｝……………………………………………………12分 【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下： 【即时训练】如图所示,试写出终边落在 阴影区域内的角的集合S(包括边界)并指 出 -950°12′是否是该集合中的角. 【解析】由题图可知,终边落在阴影区域 内的角的集合S={β｜120°+k·360°≤ β≤250°+k·360°，k∈Z}. ∵-950°12′=-3×360°+129°48′ 且120°＜129°48′＜250°; ∴-950°12′是该集合中的角. 1.将射线OM绕端点O按逆