第7章空间解析几何与向量代数xu.docVIP

§7. 4 空间曲线及其方程 内容提要：空间曲线的一般方程、参数方程；空间曲线在坐标面上的投影 重点分析：空间曲线的一般方程、参数方程；空间曲线在坐标面上的投影 难点分析：空间曲线在坐标面上的投影 一、空间曲线的一般方程 空间曲线C可以看作两个曲面的交线， 即——空间曲线的一般方程， 特点：曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程。 例1 ?方程组表示怎样的曲线？ 解：表示母线平行于z轴的圆柱面， 其准线是面上的圆，圆心在原点O，半径为1。 表示一个斜平面。 方程组就表示上述平面与圆柱面的交线——为椭圆。 例2（p320例2） 方程组表示怎样的曲线？ 解：?方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O，半径为的上半球面； 第二个方程表示母线平行于轴的圆柱面，它的准线是面上的圆，该圆的圆心在点，半径为。 方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线。如图 例2’ 方程组表示怎样的曲线？ 解：?方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O, 半径为的上半球面。 第二个方程表示母线平行于z轴的圆柱面，它的准线是面上的圆，该圆的圆心在点，半径为。 方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线。 二、空间曲线的参数方程 若空间曲线上的点坐标表示为一个参数的函数，如 ——为曲线的参数方程。 参数在它的变化范围内每取一个值，就对应到曲线上一个点，如给定时, 就得到上的一个点；随着的变动便得曲线上的全部点。 反过来，曲线上任一点均由参数的一个值对应，消去就得到曲线的一般方程。 例3（p320例3）若空间一动点在圆柱面上以角速度绕轴旋转，同时又以线速度沿平行于轴的正向上升(其中都是常数)，求动点的轨迹方程。 解：取时间为参数。 ? 设当时, 动点位于轴上的一点。经过时间，动点由运动到。记在面上的投影为，的坐标为。由于动点在圆柱面上以角速度绕轴旋转， 所以经过时间，。从而 令，即——螺旋线 特点：上升高度与角度成正比，即，； 当时，上升固定高度，称为螺距。 *曲面的参数方程（略） 曲面的参数方程通常是含两个参数的方程? 形如 ? 例如空间曲线?： (??t??)? 绕z轴旋转? 所得旋转曲面的方程为 (??t??? 0???2?)? ……(4) 这是因为? 固定一个t? 得?上一点M1(?(t)? ?(t)? ?(t))? 点M1绕z轴旋转? 得空间的一个圆? 该圆在平面z??(t)上? 其半径为点M1到z轴的距离? 因此? 固定t的方程(4)就是该圆的参数方程? 再令t在[?? ?]内变动? 方程(4)便是旋转曲面的方程? 例如直线：，绕z轴旋转所得旋转曲面的方程为? (上式消t和?? 得曲面的直角坐标方程为) 三、空间曲线在坐标面上的投影 定义1：以曲线为准线、母线平行于z轴的柱面叫做曲线关于面的投影柱面。定义2：投影柱面与面的交线叫做空间曲线在面上的投影曲线, 简称投影。 (类似地可以定义曲线在其它坐标面上的投影)。 设空间曲线的一般方程为。 消去变量后得方程： ， ——曲线关于面的投影柱面。 （因为：一方面方程表示一个母线平行于轴的柱面，另一方面方程是由方程组消去变量后所得的方程，因此当满足方程组时，前两个数必定满足方程，这就说明曲线上的所有点都在方程所表示的曲面上，即曲线在方程表示的柱面上。所以方程表示的柱面就是曲线关于面的投影柱面。） 投影柱面的特征：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面。 如图:投影曲线的研究过程。 空间曲线投影柱面 投影曲线 空间曲线在面上的投影曲线为：。 类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影。 面上的投影曲线：；面上的投影曲线：。 例4?求曲线在坐标面上的投影。 解：（1）消去变量后得方程：， 所以得在面上的投影曲线为：。 （2）因为曲线在平面上，故在面上的投影为线段： （3）同理，在面上的投影也为线段：。 例5求抛物面与平面的截线在三坐标面上的投影曲线方程。 解： 截线方程为，如图 （1）消去得投影：； （2）消去得投影：； （3）消去得投影：。 例6（p323例4） 已知两球面的方程为和，求它们的交线在面上的投影方程。 解：?先将方程化为， 然后与方程相减，得 将代入，得 这就是交线在面上的投影柱面方程。 故两球面的交线在面上的投影方程为。 补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影。（重积分与曲线积分计算中需用到） 空间立体 曲面 例7（p324例5）?求由上半球面和锥面所围成立体在面上的投影。 解：?由方程和消去得到，这是一个母线平行于轴