直线与平面垂直的判定及性质解析卷[打印4页].docVIP

直线与平面垂直的判定和性质解析卷 例1：如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝a，M、N分别是AB、A1C的中点， （1）求A到平面A1DCB1的距离；（2）求AB到平面A1DCB1的距离； （3）求证：MN是异面直线AB、A1C的公垂线段，并求其长度。 解： 例2：已知在梯形ABCD中，AB∥CD，CD在平面α内，AB︰CD＝4︰6，AB到α的距离为10cm， 求梯形对角线的交点O到α的距离。 解： 例3：已知直线a⊥b，b⊥α，aα， 求证：a∥α 略证： 例4：（备用）已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a， （1）求证：BD1⊥平面B1AC （2）求B到平面B1AC的距离。 证明： （2）解： 直线与平面垂直的判定和性质解析卷参考答案 例1：如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝a，M、N分别是AB、A1C的中点， （1）求A到平面A1DCB1的距离；（2）求AB到平面A1DCB1的距离； （3）求证：MN是异面直线AB、A1C的公垂线段，并求其长度。 解：（1）连结AD1，设AD1∩A1D＝E，则AD1⊥A1D 且E为A1D的中点，AE＝a， 又：AD1⊥A1B1，A1B1∩A1D＝A1 ∴AE⊥平面A1DCB1 ∴AE的长为所求距离，即a （2）∵AB∥A1B1，A1B1平面A1DCB1，AB平面A1DCB1 ∴AB∥平面A1DCB1 由（1）知，AE⊥平面A1DCB1 ∴所求距离为a （3）∵EN为△A1DC的中位线 ∴ENDC，ENAB 即ENAM且∠EAB＝900 ∴四边形AMNE为矩形 ∴MN⊥AB，AE∥MN 由（1）知，AE⊥平面A1DCB1 ∴MN⊥平面A1DCB1 又：A1C平面A1DCB1 ∴MN⊥A1C ∴MN是异面直线AB、A1C的公垂线段，MN＝AE＝a 例2：已知在梯形ABCD中，AB∥CD，CD在平面α内，AB︰CD＝4︰6，AB到α的距离为10cm， 求梯形对角线的交点O到α的距离。 解：过B作BE⊥α＝E，连结DE 过O作OF⊥DE ∵AB∥CD，ABα，CDα， ∴AB∥α，又BE⊥α ∴BE即为AB到α的距离，BE＝10cm且∠BED＝900 ∵OF⊥DE ∴OF∥BE得 ＝ ∵AB∥CD ∴△AOB∽△COD ∴＝＝， 得＝＝ 又：＝，BE＝10cm ∴OF＝×10＝6（cm） ∵OF∥BE，BE⊥α ∴OF⊥α，即：OF即为所求距离为6cm。 例3：已知直线a⊥b，b⊥α，aα，求证：a∥α 略证：在直线a上取一点A，过A作b′∥b，则 b′必与α相交，设交点为B，过相交直线a、b′ 作平面β，设α∩β＝a′ ∵b′∥b，a⊥b ∴a⊥b′ ∵b⊥α，b′∥b ∴b′⊥α 又∵a′α ∴b′⊥a′ 由：a，b′，a′都在平面β内，且b′⊥a，b′⊥a′知a∥a′ ∴a∥α 例4：（备用）已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，（1）求证：BD1⊥平面B1AC （2）求B到平面B1AC的距离。 （1）证明：∵AB⊥B1C，BC1⊥B1C ∴B1C⊥面ABC1D1 又：BD1面ABC1D1 ∴B1C⊥BD1 ∵B1B⊥AC，BD⊥AC ∴AC⊥面BB1D1D 又：BD1面BB1D1D ∴AC⊥BD1 ∴BD1⊥平面B1AC （2）解：∵O∈BD ∴连结OB1交BD1于E 又O∈AC， ∴OB1面B1AC ∴BE⊥OE，且BE即为所求距离 ∵＝ ∴BE＝·OB＝· a＝a 3 / 4