直角坐标系处理立体几何问题.docxVIP

在立体几何中引入向量之前，求角与距离是一个难点，在新课标中，从向量的角度来研究空间的点、线、面的关系，我们只要通过两个向量的数量积运算、运用向量的模、平面的法向量就可以解决常见的角与距离的问题。而且，运用向量来解题思路简单、步骤清楚，对学生来说轻松了很多。重点：用空间向量数量积及夹角公式求异面直线所成角。难点：建立恰当的空间直角坐标系关键：几何问题转换为代数问题及正确写出空间向量的坐标。Ⅰ、空间直角坐标系的建立空间向量的数量积公式（两种形式）、夹角公式和空间向量的数量积的几何性质。(用媒体分步显示下列内容)向量的数量积公式（包括向量的夹角公式）:若与的夹角为θ(0≤θ≤π),且={x1,y1,z1},={x2,y2,z2},则⑴ ·=||||cosθ 或 ·= x1x2+y1y2+z1z2⑵若与非零向量 cosθ = =向量的数量积的几何性质:⑴两个非零向量与垂直的充要条件是·=0⑵两个非零向量与平行的充要条件是·=±||||利用空间向量知识求异面直线所成角的一般步骤：（1）根据图形建立合理的空间直角坐标系；（2）确定关键点的坐标；D1（3）求空间向量的夹角；（4）得出异面直线的所成角。用向量解决角的问题①两条异面直线、间夹角在直线上取两点A、B，在直线上取两点C、D，若直线与的夹角为，则。注意,由于两向量的夹角范围为,而异面直线所成角的范围为，若两向量夹角为钝角,转化到异面直线夹角时为180°例1：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=6,求异面直线DA1与AC1的所成角；DCAB分析：在此题的解答中，设计如下问题贯穿整个过程以期共同解高。问题1：此题在立体几何中我们应该如何解决？ （异面直线平移相交，求相交直线的交角）问题2：利用空间向量求解，对几何体如何处理？（求向量DA1与AC1的数量积，当然应先建立空间直角坐标系）问题3：如何建立空间直角坐标系？并说明理由。 （以DA为X轴，以DC为Y轴，以DD1为Z轴）问题4：建立空间直角坐标系后，各相关点的坐标是多少？ （请学生个别回答）例2．直棱柱ABCD-A1B1C1D1，底面是边长为4的菱形,且∠DAB=60°，AA1=6，AC与BC交于E，A1C1与B1D1交于E1， （1）求：DA1与AC1的所成角；（2）若F是AE1的中点，求：B1E与FD1的所成角；②直线与平面所成的角（如图）可转化成用向量与平面的法向量的夹角表示，由向量平移得：若时（图）；若时（图）.平面的法向量是向量的一个重要内容，是求直线与平面所成角、求点到平面距离的必备工具.由可知，要求得法向量，只需在平面上找出两个不共线向量、，最后通过解方程组得到.例4、 在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，、分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心，求直线与平面所成角正弦值.例8.三棱柱，平面平面，，且，，求：二面角的余弦值大小.例9. 如图，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，AD//BC，∠ABC=900，SA⊥面ABCD，SA=，AB=BC=1，AD=。求侧面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值大小。用向量解决距离问题①两点间距离由可算出；若，则由数量积得，若已知两点坐标，则可直接用两点间距离公式.②点到直线的距离过点作直线的垂线，垂足为，则由且点共线得，解出点后再求。例1、直角坐标系中的三点，，，求点到直线的距离。解：过作，垂足为设，∵∴，则点坐标为∴，又∵， ∴，，∴，③异面直线、的距离可先设、的公垂线段（、），再由垂直向量性质得，从而得到、的坐标，最后算出所求.例2、正方体的边长为，求异面直线、的距离？分析：从正方体条件得，运用坐标向量的方法较好.建立直角坐标系，设是所求的公垂线，令、，则、的坐标为，同理，再由、，算得、，最后算出、.这个方法不但能求出直线上的点的坐标，也能求出空间向量的表示式，是向量运用中常用的一个小技巧.④点到平面的距离先设平面的斜线为，再求的法向量，运用向量平移，不难得到推论“等于在法向量上的射影的绝对值”，即，最后由此算出所求距离.例3、正四棱柱，，，是的中点，求点到平面的距离. 分析：如图建立直角坐标系，得各点坐标，设平面的法向量为，由，得；令，得法向量∴在上的投影为，∴点到平面的距离为.此类题目，是在立体几何学习中的必须解决的重点题和难题，传统的解题方法很多，也很复杂。运用平面法向量的知识，能直接算出所求距离，避免繁复的逻辑推理。④两平行平面之间的距离由平行平面间的距离定义知道，平面上任意一点A到的距离就是到的距离，因此，我们也可把到的距离转化为A到的距离，运用求点与面距离的方法来求。1、(2011年高考陕西卷理科16)（本小题满分12分）如图：在，沿把折起，使（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）设。2、(2011年高考北京卷理科16)（本小题