北师大版必修2高中数学1.4.2“空间图形的公理”课件.pptVIP

【解析】选D.如图所示，AC1,AE，AF，AG都与棱AB，AD，AA1所成的角相等. 二、填空题(每题4分，共8分) 5. 四面体PABC中，PA⊥BC，E、F分别为PC、AB上任一点，若EF与PA、BC所成的角分别为α、β,则α+β=_________. 【解析】本题可利用特例法.如图， 若E、F分别为PC、AB中点时， 取AC中点M，连接EM、FM， ∴EM∥PA，FM∥BC. ∵PA⊥BC，∴∠FEM=α， ∠EFM=β，EM⊥FM， ∴α+β=90°. 答案：90° 6.在四面体SABC中，SA⊥BC且 SA=BC,E, F分别为SC、AB 的中点，那么异面直线EF与SA 所成的角等于__________. 【解析】取AC的中点D，连接DE、DF， ∵E, F分别为SC、AB 的中点， ∴DE∥SA，DF∥BC， ∴∠DEF为异面直线EF与SA 所成的角. ∵SA⊥BC，∴∠EDF=90°. 又∵SA=BC且 ∴DE=DF，∴△DEF是等腰直角三角形， ∴∠DEF=45°，即异面直线EF与SA 所成的角为45°. 答案：45° 【方法技巧】求异面直线所成角的诀窍 (1)平移方法：①中位线平移法.②平行四边形性质平移法.③补形平移法. (2)平移直线是寻找两条异面直线所成角的过程，线的平移是在某个平面中进行的，该面的特点：①该平面包含其中一条异面直线，②该平面与另一条异面直线平行. (3)求角或求角的三角函数值的一般步骤：①构造三角形，②解三角形求角或求角的三角函数值. 利用定义法求异面直线所成的角的一般步骤 求异面直线所成的角 求异面直线所成的角的关键是“作角”，而“作角”的关键是恰当地利用平面几何中有关线线平行的结论作“辅助线”. 【例3】如图，正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E，F分别为A1B1，B1C1的中点， 求异面直线DB1与EF所成的角的大小. 【审题指导】求异面直线所成的角关 键在于“作角”，也就是利用平面几何知识作平行线，因此通常要把有关线段看作某三角形或平行四边形中的边. 【规范解答】方法一： 如图，连接A1C1，B1D1，并设它 们相交于点O，取DD1的中点G， 连接OG.则OG∥B1D，EF∥A1C1 ∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所 成的角或其补角. ∵GA1=GC1,O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1， ∴异面直线DB1与EF所成的角为90°. 方法二:如图，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连接B1Q，则B1Q∥EF.于是，直线DB1与B1Q所成的较小的角就是异面直线DB1与EF所成的角，通过计算可知B1D2+B1Q2=DQ2，从而异面直线DB1与EF所成的角为90°. 【变式训练】如图，棱长为2 的正方体ABCD-A1B1C1D1 中E、 F分别是A1B1、AB的中点，求 异面直线A1F与CE所成的角的正 切值. 【解题提示】解答本题可先在正方形AA1B1B中过点E作A1F的平行线，作出异面直线A1F与CE所成的角，然后在Rt△BCE中，计算所求角的正切值. 【解析】连接BE，∵正方体ABCD-A1B1C1D1 中E、F分别是A1B1、AB的中点， ∴A1E∥BF，A1E=BF， ∴四边形A1EBF是平行四边形， ∴A1F∥BE， ∴∠BEC为异面直线A1F与CE所成的 角或其补角. ∵正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为2， BE⊥BC， ∵BC=2， ∴∠BEC为异面直线A1F与CE所成的角, ∴异面直线A1F与CE所成的角的正切值为 【典例】(12分)在正方体ABCD- A1B1C1D1 中，点P在线段AD1上移动， 求异面直线CP与BA1所成的角θ的取 值范围. 【审题指导】由于线段CP的端点P在线段AD1上移动，所以应该过点C作辅助线平行直线A1B,作出异面直线CP与BA1所成的角θ，然后根据P点的变化，确定θ的取值范围. 【规范解答】连接D1C，AC， ……………………2分 ∵正方体ABCD-A1B1C1D1 中A1D1 AD BC， ∴四边形A1BCD1是平行 四边形，……………4分 ∴A1B∥CD1， ……………………………………………6分 ∴异面直线CP与BA1所成的角θ即为∠D1CP，…………8分 由图可知CD1∥A1B，CA与A1B异面，当点P在线段AD1上移动时，0°∠D1CP≤∠ACD1, ∴0°θ≤60°. ………………………………………12分 【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下： 【即时训练】如图，空间四边形ABCD 中，两条对边AB=CD=3，E、F分别是 另外两条对边AD、BC上的点，且