数学难点重点精讲1集合思想和应用.docVIP

难点1 集合思想及应用 集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用. ●难点磁场 (★★★★★)已知集合A={(x,y)|x2+mx－y+2=0},B={(x,y)|x－y+1=0,且0≤x≤2},如果A∩B≠,求实数m的取值范围. ●案例探究 ［例1］设A={(x,y)|y2－x－1=0},B={(x,y)|4x2+2x－2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C=，证明此结论. 命题意图：本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨出所考查的知识点，进而解决问题.属★★★★★级题目. 知识依托：解决此题的闪光点是将条件(A∪B)∩C=转化为A∩C=且B∩C=，这样难度就降低了. 错解分析：此题难点在于考生对符号的不理解，对题目所给出的条件不能认清其实质内涵，因而可能感觉无从下手. 技巧与方法：由集合A与集合B中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制，可得到b、k的范围，又因b、k∈N,进而可得值. 解：∵(A∪B)∩C=，∴A∩C=且B∩C= ∵ ∴k2x2+(2bk－1)x+b2－1=0 ∵A∩C= ∴Δ1=(2bk－1)2－4k2(b2－1)0 ∴4k2－4bk+10,此不等式有解，其充要条件是16b2－160,即b21 ① ∵ ∴4x2+(2－2k)x+(5+2b)=0 ∵B∩C=,∴Δ2=(1－k)2－4(5－2b)0 ∴k2－2k+8b－190,从而8b20,即b2.5 ② 由①②及b∈N,得b=2代入由Δ10和Δ20组成的不等式组，得 ∴k=1,故存在自然数k=1,b=2,使得(A∪B)∩C=. ［例2］向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？ 命题意图：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.属★★★★级题目. 知识依托：解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来. 错解分析：本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索. 技巧与方法：画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系. 解：赞成A的人数为50×=30，赞成B的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B. 设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为+1,赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x. 依题意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50,解得x=21. 所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人. ●锦囊妙计 1.解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题. 2.注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如AB,则有A=或A≠两种可能，此时应分类讨论. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)集合M={x|x=,k∈Z},N={x|x=,k∈Z},则( ) A.M=N B.MN C.MN D.M∩N= 2.(★★★★)已知集合A={x|－2≤x≤7},B={x|m+1x2m－1}且B≠,若A∪B=A，则( ) A.－3≤m≤4 B.－3m4 C.2m4 D.2m≤4 二、填空题 3.(★★★★)已知集合A={x∈R|ax2－3x+2=0,a∈R},若A中元素至多有1个，则a的取值范围是_________. 4.(★★★★)x、y∈R,A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)| =1,a0,b0},当A∩B只有一个元素时，a,b的关系式是_________. 三、解答题 5.(★★★★★)集合A={x|x2－ax+a2－19=0},B={x|log2(x2－5x+8)=1}，C={x|x2+2x－8=0},求当a取什么实数时，A∩B 和A∩C=同时成立. 6.(★★★★★)已知{an}是等差数