含参不等式恒成立问题中求参数取值范围1般方法.docVIP

含参不等式恒成立问题中，求参数取值范围一般方法 恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。 分离参数 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若恒成立，只须求出，则；若恒成立，只须求出，则，转化为函数求最值。 例1、已知函数，若对任意恒有，试确定的取值范围。 解：根据题意得：在上恒成立， 即：在上恒成立， 设，则 当时， 所以 在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即：若恒成立，只须求出，则，然后解不等式求出参数的取值范围；若恒成立，只须求出，则，然后解不等式求出参数的取值范围，问题还是转化为函数求最值。 例2、已知时，不等式恒成立，求的取值范围。 解：令， 所以原不等式可化为：， 要使上式在上恒成立，只须求出在上的最小值即可。 二、分类讨论 在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。 例3、若时，不等式恒成立，求的取值范围。 解：设，则问题转化为当时，的最小值非负。 当即：时， 又所以不存在； 当即：时， 又 当 即：时， 又 综上所得： 确定主元 在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量看成是主元（未知数），而把另一个变量看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。 例4、若不等式对满足的所有都成立，求的取值范围。 解：设，对满足的，恒成立， 解得： 四、利用集合与集合间的关系 在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：，则且，不等式的解即为实数的取值范围。 例5、当时，恒成立，求实数的取值范围。 解： 当时，，则问题转化为 当时，，则问题转化为 综上所得：或 数形结合 数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式。 例6、若不等式在内恒成立，求实数的取值范围。 解：由题意知：在内恒成立， 在同一坐标系内，分别作出函数和 观察两函数图象，当时，若函数的图象显然在函数图象的下方，所以不成立； 当时，由图可知，的图象必须过点或在这个点的上方，则， 综上得： 上面介绍了含参不等式中恒成立问题几种解法，在解题过程中，要灵活运用题设条件综合分析，选择适当方法准确而快速地解题。 恒成立问题中含参范围的求解策略 周云才 ? 数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法，归纳总结这类问题的求解策略，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，下面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。 一、分离参数——最值化 对于某些恒成立问题，可将其中的参数分离出来，将原问题转化为（或）在给定区间上恒成立（或），从而将原问题转化为求函数的最大值或最小值问题。 例1??当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围。 ??解析：因，所以对恒成立，即有，由于在上是增函数，所以当时，，所以 ? 例2??设且恒成立，求实数m的取值范围。 ??解析：由于，所以，于是恒成立，因? ??（当且仅当时取等号），故。 ? 二、数形结合——直观化 对于某些不容易分离出参数的恒成立问题，可利用函数的图像或相应图形，采用数形结合的思想，直观地反应出参数的变化范围。 例3??当时，恒有成立，求实数a的取值范围。 ??解析：令，由题意，对恒成立。 ??（1）当，即时，有对恒成立。 ??（2）当时，结合二次函数的图像， ??有 ??或 ?? ??综合（1）（2）得 ? 例4??设，对于任意正整数k，直线与恒有两个不同的交点，求实数a的取值范围。 ??解析：作出在区间上的图像，由图像知，直线只能绕原点O从x正半轴旋转到过点的范围，直线AO的斜率为于是实数a的取值范围是 ? 三、巧妙赋值——特殊化 在某些恒成立问题中，恰当地取特殊的数或考虑特殊的情形，探求出参数的值或范围，再加以证明，不失为一个好办法。 例5??是否存在常数c，使得不等式对任意的正实数x，y恒成立？并证明你的结论。 ??解析：令得，有 ??先证成立证成立证成立，此时显然成立。 ??再证成立。 ??证成立证成立，此时也显然成立。 ??故存在常数c，使得原不等式对任意的正实数x，y恒成立。 ? 例6??设。若对于任意恒成立，试确定常数a，b，c。 ??解析：取分别代入已知等式