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人教B版选修1-1高中数学第3章“导数及其方程”章末归纳提升
* 中小学课件 课堂讲练互动 导数的运算与导数的几何意义 利用导数研究函数的性质 利用导数求参数的取值范围 数形结合思想 对于导数的运算,要熟练掌握基本导数公式和运算法则.由于函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,其切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).因此关于曲线的切线问题可尝试导数的方法解决.
若抛物线C1:y1=x2-2x+2与抛物线C2:y2=-x2+ax+b在它们的一个公共点处的切线互相垂直.
(1)求a,b之间的关系;
(2)若a0,b0,求ab的最大值.
【思路点拨】 结合导数的几何意义求公共点处的导数即为斜率,由已知斜率互为负倒数进而推知a,b的关系式.
【规范解答】 (1)依题意y=2x-2,y=-2x+a,设它们的公共点为P(x0,y0),因为在P点切线互相垂直且切线斜率一定存在.
∴(2x0-2)(-2x0+a)=-1,
即4x-2(a+2)x0+2a-1=0,
则Δ=4[(a-2)2+4]>0.
又y0=x-2x0+2,且y0=-x+ax0+b,
相减得:2x-(a+2)x0+2-b=0,
由消去x0得:2b+2a=5,
即a+b=.
(2)由(1)得ab≤2=2=,
当且仅当a=b=时上式取等号,
ab的最大值为.
已知函数f(x)=x3+x-16.
(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程;
(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.
【解】 (1)点(2,-6)在曲线y=f(x)上.
f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1,
f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f′(2)=13.
切线的方程为y=13(x-2)+(-6),
即y=13x-32.
(2)设切点为(x0,y0),则直线l的斜率为
f′(x0)=3x+1,直线l的方程为
y=(3x+1)(x-x0)+x+x0-16,
又直线l过点(0,0),
0=(3x+1)(-x0)+x+x0-16,
整理得x=-8,x0=-2,
y0=(-2)3+(-2)-16=-26,
k=3×(-2)2+1=13,
直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).
利用导数求解单调区间、研究函数的极大(小)值以及求在闭区间[a,b]的最大(小)值是本章的重点.并且求函数的单调性是基础,求极值是关键,学习时一定要熟练它们的求解方法.
1.利用导数求可导函数的单调区间的一般步骤:
(1)确定函数y=f(x)的定义域;
(2)求f′(x);
(3)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0;
(4)不等式的解集与定义域取交集;
(5)确定并写出函数的单调递增区间或单调递减区间.
2.应用导数求函数极值的一般步骤:
(1)确定函数f(x)的定义域;
(2)求方程f′(x)=0的根;
(3)检验f′(x)=0的根的两侧f′(x)的符号.
若左正右负,则f(x)的此根处取得极大值;
若左负右正,则f(x)在此根处取得极小值;
否则,此根不是f(x)的极值点.
已知a,b为常数且a>0,f(x)=x3+(1-a)x2-3ax+b.
(1)函数f(x)的极大值为2,求a,b间的关系式;
(2)函数f(x)的极大值为2,且在区间[0,3]上的最小值为-,求a,b的值.
【思路点拨】 利用导数求极值与最值的方法解参数的值.
【规范解答】 (1)f′(x)=3x2+3(1-a)x-3a=3(x-a)(x+1),
令f′(x)=0,解得x1=-1,x2=a,因为a>0,所以x1<x2.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况见下表:
x (-∞,-1) -1 (-1,a) a (a,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 所以当x=-1时,f(x)有极大值2,即3a+2b=3.
(2)当0<a<3时,由(1)知,f(x)在[0,a)上为减函数,在(a,3]上为增函数,
所以f(a)为最小值,f(a)=-a3-a2+b.
即-a3-a2+b=-.又由b=,
得a3+3a2+3a-26=0,即(a+1)3=27,a=2,b=-.
设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11).
(1)求a,b的值;
(2)讨论函数的单调性.
【解】 (1)f′(x)=3x2-6ax+3b,
f(x)的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11).
f(1)=-11,f′(1)=-12,
即
解之得a=1,b=-3.
(2)由(1)得,f′(x)=3(x2-2x-3)
=3(x+1)(x-3).
令f′(x)>0,解得x>3或x<-1.
令f′(x)<0,解
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