全国高中数学联赛1试常用解题方法之基本不等式法8.docVIP

全国高中数学联赛一试常用解题方法 八、基本不等式法 方法介绍 基本不等式法是指利用基本不等式求解数学问题的方法.中学数学竞赛中常见的基本不等式有：(1)平均值不等式； (2)柯西不等式； (3)绝对值不等式； (4)函数的单调性的应用. 例题精讲 例1设是椭圆的任意一点，是椭圆的两个焦点，试求的取值范围. 注：设，则，由焦半径公式得， 所以，当时等号成立. 例2数列定义如下：.求证：对任意，均有. 注：由条件可知对任意，. 另一方面，当时，.设时，有.若，则；若，则.所以总有.下略. 例3已知，求证：. 注：利用公式（平方平均值），可得 左边 =右边. 另法1：利用公式，可得 左边，下略. 另法2：利用公式，可得 左边 . 另法3：利用柯西不等式，可得 左边. 例4设是给定的正数，若对所有非负实数均有，求实数的最大值. 注：(1)若，则，当或时取等号，此时的最大值为1； (2)若，则 ， 当取等号，此时的最大值为. 例5设实数满足，求证：. 注：由柯西不等式得 ， 所以，故. 例6设为锐角，且，求证：. 注：由为锐角得， 又（*） 于是，故， 代入（*）式得，， 所以，只能是. 另法：若，则，同理，故，与矛盾，所以. 例7已知不等式对于恒成立，求的取值范围. 注：设，则，从而原不等式可化为，也即为 ，故，故，即对恒成立，从而只要， 又容易证明在上递减，所以. 例8设. 求证：. 注：因为，所以原不等式等价于，由柯西不等式得 ； . 又， 故. 又， 故. 下略. 例9求函数的值域. 注：，设 由知，，等号当同向取到，此时. 说明：本题亦可构造距离求解. 例10已知为实数，函数，当时，. 求的最大值. 注：因， 故， . 当，或，即或或时，上式中的两个同时取到. 例11将编号为1，2，3，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各一个小球，设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为，求达到最小值的方法的概率（若某种方法，经旋转或镜面反射可与另一种方法重合，则认为是相同方法）. 注：九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上，每点放一个，相当于九个不同元素在圆周上的一个圆形排列，故共有种放法，考虑到翻转因素，则本质不同的放法有种.下求使达到最小值的放法数：在圆周上，从1到9有优弧与劣统两条路径，对其中任一条路径，设是依次排列于这段弧上的小球号码，则 ，取等号当且仅当，即每一段弧上的小球编号都是由1到9递增排列，因此. 由上知，当每个弧段上的球号确定之后，达到最小值的排列方案便惟一确定. 在1，2，…，9中，除1与9外，剩下7个球号2，3，…，8，将它们对应为两个子集，元素较少的一个子集共有种情况，每种情况对应圆周上使达到最小的惟一排法，即有利事件总数有种，故所求概率为. 同步操练 1．设，且，则下列关系中不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 注：利用函数的图象及，选D. 2．使关于的不等式有解的实数的最大值是 . 注：由柯西不等式得，当时取到等号，因原不等式有解，故. 3．给定正数，其中，若是等比数列，是等差数列，则一元二次方程的根的情况是 . 注：由题意得，于是，进而可得，于是，无实根. 4．直线与椭圆相交于两点，该椭圆上点使得的面积等于3，则这样的点共有 个. 注：设，即点在第一象限的椭圆上，考虑四边形的面积，所以，因，所以的最大值为，故点不可能在直线的上方，显然在直线的下方有两个点满足条件. 5．已知都在区间内，且，则函数的最小值为 . 注：消去之后，可得，求得函数的最小值为. 6．已知正实数满足，则的整数部分是 . 注：因，故，又，所以的整数部分是2. 7．用一张长16厘米、宽10厘米的矩形铁皮，四角各截去一个正方形，折成一个无盖铁盒，由此铁盒的最大容积是 . 注：设正方形边长为（单位：厘米），则， 于是，当时等等号成立，故最大容积为144立方厘米. 8．已知是定义在上的函数，，且对任意，都有，若，则 . 注：由得，所以 即， 所以，所以， 即是以1为周期的周期函数，又，故. 9．函数的值域为 . 注：构造向量，则，而，又不同向，所以； 另一方面，故，于是值域为. 10．过定点作直线分别交轴正向和轴正向于，使的面积最小，则的方程为 . 注：设直线，则，等号在时取到，所以使面积最小的直线方程为. 11．在中，是角的对边，且满足，则角的最大值是 . 注：，当时，等号成立，故. 12．设，若时，恒成立，则实数的取值范围是 . 注：易知为奇函数，又在上是增函数，故，令，则