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例析中考数学中的规律探索性试题 浙江 　　袁亚平 《新课程标准》指出，数学学习不仅包括数学的一些现成结果，还要包括这些结果的形成过程．规律探究型问题，正是新课程理念下培养学生观察、实验、操作、归纳、猜想，发展学生的直觉思维能力和合情推理能力的好材料，它不仅可以考查学生发现问题、自主探究、解决问题等综合能力，暴露学生在解题过程中的思维品质；还能反馈学生对数学思想方法的掌握情况，较直观的反映出学生的数学素养，体现了素质教育的要求．因此，规律探索性问题成了近几年中考数学试题的热点，本文例举2005年中考数学中的规律探究型试题加以归类简析，供参考． 数式的规律探索 例1．瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门．请你按这种规律写出第七个数据是＿＿＿＿＿． 简析：本题以光谱数据为背景，向学生渗透了光谱理论的知识，体现了数学试题的教育功能．解题的关键是从特殊数据中探求这一系列分数的变化规律，经观察分子都是完全平方数，第n项的分子是，然后比较分母与分子的关系，可以发现分母比分子小4，所以光谱数据可表示为：……由此可以推断：第7个数是． 例2．有若干个数，依次记为若，从第2个数起，每个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数，则　　　　　　　． 简析：根据题目对的定义，可求得，，，……，通过观察、归纳、猜想、合情推理可知中3个循环一次，因此可得＝．本题考查了倒数的概念、实数的运算等基础知识和对数学语言的阅读理解能力、推理能力等． 例3．如果记，并且表示当时的值，即；表示当时的值，即；那么______________________（结果用含n的代数式表示，n表示正整数） 简析：本题把记作，向学生渗透了高中数学中的函数表达方式．解题时在理解的基础上，通过对特殊情况下的计算、观察、归纳、猜想可得＝1(k表示正整数)，故，考查了学生对整体思想的运用． 练习： 1.一组按规律排列的数：，，，，，…． 请你推断第9个数是_____________． 2．已知： 1+2+1＝4＝22，1+2+3+2+1＝9＝32，1+2+3+4+3+2+1＝16＝42，…，那么1+2+3+…++…+3+2+1＝_____________.（用含n的代数式表示）　　 数列的规律探索 例4．下面是一个有规律排列的数表： 上面数表中第9行，第7列的数是 ． 简析：根据数表中反映的规律：每个数的分子与行数相同，分母与列数相同，故第9行，第7列的数是． 例4．如图1是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，是相邻两行的前四个数（如图1所示）．那么当时，　　　　　　　　．　　　　　　　　． 　　　　　 简析：本题是以我国古代的杨辉三角为背景的规律探索型试题，考查了学生对类比方法的运用．解题时，根据数列的排列规律，类比杨辉三角中数的变化规律，经观察、归纳、推理知每行的第一个数及最后一个数与行数相同，而其他数分别是上面两个数的和（如图2），因此，当时，则＝29，所以，＝9，＝37． 练习： 3．已知一列数：1，―2，3，―4，5，―6，7，…　将这列数排成下列形式： 第1行 1 第2行 －2　 3 第3行 －4　 5　 －6 第4行 7　 －8　 　9　 －10 第5行 11 －12　 13　 －14　 15 … … 按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数等于 ． 4．观察下列数表： 1 2 3 4 … 第一行 2 3 4 5 … 第二行 3 4 5 6 … 第三行 4 5 6 7 … 第四行 第 第 第 第 一 二 三 四 列 列 列 列 根据表中所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为______，第n行（n为正整数）与第n列的交叉点上的数应为_________． 图案的规律探索 例5．用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第n个图案需要用白色棋子________枚（用含有n的代数式表示） 简析：本题用黑白棋子摆设如正方形图案，情境自然亲切，一定程度上激发了学生的解题欲望．解题的关键是通过对特殊情形的观察、归纳、推理得：第n个图案中，总的棋子为枚，黑棋子为枚，故第n个图案需要用白色棋子为－＝枚． 例6．观察下面图形我们可以发现：第1个图中有1个正方形，第2个图中共有5个正方形，第3个图中共有14个正方形，按照这种规律下去的第5个图形共有________个正方形． 简析：本题是以数正方形个数为载体的计数问题，