【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义：第8章8.7.docVIP

§8.7　立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离 1． 空间向量与空间角的关系 (1)已知异面直线l1，l2的方向向量分别为s1，s2，当0≤〈s1，s2〉≤时，直线l1与l2的夹角等于〈s1，s2〉； 当〈s1，s2〉≤π时，直线l1与l2的夹角等于π－〈s1，s2〉． (2)已知平面π1和π2的法向量分别为n1和n2，当0≤〈n1，n2〉≤时，平面π1与π2的夹角等于〈n1，n2〉； 当〈n1，n2〉≤π时，平面π1与π2的夹角等于π－〈n1，n2〉． (3)已知直线l的方向向量为s，平面π的法向量为n，则直线l与平面π的夹角θ满足：sin θ＝|cos〈s，n〉|. 2． 距离公式 点到直线的距离公式：d＝. 点到平面的距离公式：d＝|·n0|. 1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(　×　) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(　×　) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面的夹角．(　×　) (4)两异面直线夹角的范围是(0，]，直线与平面所成角的范围是[0，]．(　√　) (5)直线l的方向向量与平面α的法向量夹角为120°，则l和α所成角为30°.(　√　) 2． 已知二面角α－l－β的大小是，m，n是异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵m⊥α，n⊥β， ∴异面直线m，n所成的角的补角与二面角α－l－β互补． 又∵异面直线所成角的范围为(0，]， ∴m，n所成的角为. 3． 在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2,1)，已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于(　　) A．4 B．2 C．3 D．1 答案　B 解析　P点到平面OAB的距离为 d＝＝＝2，故选B. 4． 若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的正弦值为_____________． 答案　 解析　∵n·a＝－8－3＋3＝－8，|n|＝＝3， |a|＝＝， ∴cos〈n，a〉＝＝＝－. 又l与α所成角记为θ，即sin θ＝|cos〈n，a〉|＝. 5． P是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在平面α、β上引射线PM、PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么平面α与β的夹角为________． 答案　90° 解析　不妨设PM＝a，PN＝b，如图， 作ME⊥AB于E，NF⊥AB于F， ∵∠EPM＝∠FPN＝45°， ∴PE＝a，PF＝b， ∴·＝(－)·(－) ＝·－·－·＋· ＝abcos 60°－a×bcos 45°－abcos 45°＋a×b ＝－－＋＝0， ∴⊥，∴平面α与β的夹角为90°. 题型一　求异面直线所成的角 例1　长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 思维启迪　本题可以通过建立空间直角坐标系，利用向量、所成的角来求． 答案　B 解析　建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)． ＝(－1,0,2)，＝(－1,2,1)， cos〈，〉＝＝. 所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为. 思维升华　用向量方法求两条异面直线所成的角，是通过两条直线的方向向量的夹角来求解，而两异面直线所成角的范围是θ∈，两向量的夹角α的范围是[0，π]，所以要注意二者的区别与联系，应有cos θ＝|cos α|. 　已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如图，以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系． 设AA1＝2AB＝2，则B(1,1,0)，E(1,0,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,2)， ∴＝(0，－1,1)， ＝(0，－1,2)， ∴cos〈，〉＝＝. 题型二　求直线与平面所成的角 例2　如图，已知四棱锥P—ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点． (1)证明：PE⊥BC； (2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值． 思维启迪：平面的法向量是利用向量方法解决位置关系或夹角的关键，本题可通过建立坐标系，利用待定系数法求出平面PEH的法向量． (1)证明　以H为原点，HA，HB，HP所在直线分别为x，y，