2012江苏省数学竞赛《提优教程》第二十四讲三角不等式.docVIP

第四讲 三角不等式 含有未知数的三角函数的不等式叫做三角不等式．三角不等式首先是不等式，因此，处理不等式的常用方法如配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、反证法、数学归纳法等也是解决三角不等式的常用方法．其次，三角不等式又有自己的特点——含有三角式，因而三角函数的单调性、有界性以及图像特征、三角公式及三角恒等变形的方法等都是处理三角不等式的常用工具． A类例题 例1 已知、为锐角，且，求证对一切，有 分析 要证的不等式两边均为指数式，且指数相同，可考虑利用函数的单调性，因此首先应比较与的大小，而函数的单调性与α的符号有关，可分情况讨论． 证明 （1）若x0，则，则，由正弦函数的单调性，得，即，又x0，故有． （2）若x0，则，则，由正弦函数的单调性，得，即，又x0，故有． 说明 比较不同角的正弦与余弦的大小，可先化同名，再利用正余弦函数的单调性比较，而一组的诱导公式是实现正、余弦转化的有力工具． 例2 已知，试比较和的大小．[来源:学*科*网]与的三角函数，故可考虑都化为的三角函数，注意到两式均为正，可考虑作商来比较． 解法一 =，∵，所以当，即时，上式有最大值1，当且时，上式总小于1．因此，当时，=；当且时，． 解法二 设，由得，故，则，，于是有 -= 因此，当时，=；当且时，． 链接 本题用到以下两组三角公式： （1）半角公式 （2）万能公式： ；； 例3 已知，求证：cos(sinx)sin(cosx) 分析一 从比较两数大小的角度来看，可考虑找一个中间量，比cos(sinx)小，同时比sin(cosx)大，即可证明原不等式． 证法一 （1）当时，显然cos(sinx)sin(cosx)成立． （2）当时，，，则cos(sinx)0sin(cosx)． （3）当时，有0sinxx，而函数y=cosx在上为减函数，从而有cos(sinx)cosx；而，则sin(cosx)cosx，因此cos(sinx) cosx sin(cosx)，从而cos(sinx)sin(cosx)． 分析二 cos(sinx)可看作一个角sinx的余弦，而sin(cosx)可看作一个角cosx的正弦，因此可考虑先用诱导公式化为同名三角函数，再利用三角函数的单调性来证明． 证法二 当时，有0sinx1，0cosx1，且sinx+cosx=，即0sinx-cosx，而函数y=cosx在上为减函数，所以cos(sinx)cos(-cosx)=sin(cosx)，即cos(sinx)sin(cosx)．x在其他区域时，证明同证法1． 说明 （1）本题的证明运用到结论：时，，这是实现角与三角函数值不等关系转化的重要工具，该结论可利用三角函数线知识来证明．（2）证法一通过中间量cosx来比较，证法二利用有界性得sinx+cosx，再利用单调性证明，这是比较大小常用的两种方法；（3）本题结论可推广至. 情景再现 1．在锐角△ABC中，求证： . 2．已知，，求证：. 3．当时，求证：. B类例题 例4 在中，证明： 分析一 本题中有三个变量A、B、C，且满足A+B+C=180°，先固定其中一个如角C，由于A+B =180°- C,故对不等式的左边进行和差化积，将其转化为与A－B有关的三角函数进行研究． 证法一　我们先假定C是常量，于是A+B=C也是常量. ， 显然，对于同一个C值，当A=B时，上式达到最大值． 同样，对同一个A或B，有类似结论；因此,只要A、B、C中任意两个不等，表达式就没有达到最大值，因而，当A=B=C=时，有最大值，∴原不等式得证． 说明　不等式中含有多个变量时，我们往往固定其中部分变量，求其他变量变化时，相应表达式的最值，这种方法称为逐步调整法． 分析二　即证，观察左边的形式，从而考虑用琴生不等式进行证明． 证法二 函数是区间（0，π）上的上凸函数，从而对任意的三个自变量，总有，等号当时成立．因此有，从而有，因此原不等式成立． 说明　本方法是利用凸函数性质解题，三角函数在一定区间内均为凸函数，因此很多三角不等如均可利用凸函数的性质证明． 链接 关于凸函数与琴生不等式的有关知识 凸函数定义：函数f(x)如果对其定义域中任意的x1、x2，都有如下不等式成立：f（）≤[f(x1)+f(x2)]，则称f(x)是下凸函数，等号当x1=x2时成立．如果总有f（）≥[f(x1)+f(x2)]，则称f(x)是上凸函数，等号当x1=x2时成立． 其几何意义是，不等式①表示定义域中任意两点x1、x2，中点M所对应的曲线上点Q位于弦上对应点P的下面，不等式②则有相反的意义． 定理：若f(x)是在区间I内的下凸函数，则对区间I内的任意n个点x1，x2，…,xn，恒有f（）≤[f(x1)+f