2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第四2讲平均不等式.docVIP

3极限和导数 相关知识 1.导数的有关概念。 (1)定义： 函数y=f(x)的导数f/(x)，就是当时，函数的增量与自变量的增量的比的极限，即。 (2)实际背景：瞬时速度，加速度，角速度，电流等。 (3)几何意义： 函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率。 2． 求导的方法： (1)常用的导数公式： C/=0（C为常数）； (xm)/=mxm-1(m∈Q); (sinx)/=cosx; (cosx)/= -sinx ; (ex)/=ex; (ax)/=axlna ; . (2)两个函数的四则运算的导数： (3)复合函数的导数： 3.导数的运用： (1)判断函数的单调性。 当函数y=f(x)在某个区域内可导时，如果f/(x)0，则f(x)为增函数；如果f/(x)0，则f(x)为减函数。 (2)极大值和极小值。 设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，都有f(x)f(x0)（或f(x)f(x0)）,我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值（或极小值）。 (3)函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的求法。 A类例题 例1求函数的导数 (2)解 y=μ3,μ=ax－bsin2ωx,μ=av－by v=x,y=sinγ γ=ωx y′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av－by)′ =3μ2(av′－by′)=3μ2(av′－by′γ′) =3(ax－bsin2ωx)2(a－bωsin2ωx) (3)解法一 设y=f(μ),μ=,v=x2+1,则 y′x=y′μμ′v·v′x=f′(μ)·v－·2x =f′()··2x = 解法二 y′=［f()］′=f′()·()′ =f′()·(x2+1)·(x2+1)′ =f′()·(x2+1) ·2x =f′() 说明 本题3个小题分别涉及了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法 这是导数中比较典型的求导类型 解答本题的关键点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数 本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错 例2．观察，，，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。 解：若为偶函数 令 ∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数 另证： ∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数 例3已知曲线C y=x3－3x2+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标 解 由l过原点，知k=(x0≠0),点(x0,y0)在曲线C上，y0=x03－3x02+2x0, ∴=x02－3x0+2 y′=3x2－6x+2,k=3x02－6x0+2 又k=,∴3x02－6x0+2=x02－3x0+2 2x02－3x0=0,∴x0=0或x0= 由x≠0,知x0= ∴y0=()3－3()2+2·=－ ∴k==－ ∴l方程y=－x 切点(，－) 情景再现 1． 在处可导，则 2．已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限： （1）； （2） 3．设f(x)=(x-1)(x-2)…(x-100)，求f′(1)。 B类例题 例4 (1)试述函数y=f(x)在x=0处的导数的定义； (2)若f(x)在R上可导，且f(x)= -f(x)，求f/(0)。 (1)解：如果函数y=f(x)在x=0处的改变量△y与自变量的改变量△x之比，当时有极限，这极限就称为y=f(x)在x=0处的导数。记作。 (2)解法一：∵f(x)= f(-x)，则f(△x)= f(-△x) ∴ 当时，有 ∴ ∴。 解法二：∵f(x)= f(-x)，两边对x求导，得 ∴ ∴。 链接说明 本题涉及对函数在某一点处导数的定义。题（2）可对其几何意义加以解释：由于f(x)=f(-x),所以函数y=f(x)为偶函数，它的图象关于y轴对称，因此它在x=x0处的切线关于y轴对称，斜率为互为相反数，点(0,f(0))位于y轴上，且f/(0)存在，故在该点的切线必须平行x轴（当f(0)=0时，与x轴重合），于是有f/(0)=0。在题（2）的解二中可指出：可导的偶函数的导数为奇函数，让学生进一步思考：可导的奇函数的导函数为偶函数吗？ 例5 利用导数求和 (1)Sn=1+2x+3x2+…+nxn－1(x≠0,n∈N*) (2)Sn=C+2C+3C+…+nC,(n∈N*) 解 (1)当x=1时 Sn=1+2+3+…+n=n(n+1);