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第 23 卷第 4 期 　大 　学 　物 　理 　 Vol. 23 No. 4 2004 年 4 月 COLL EGE 　PHYSICS Apr. 2004 专题介绍 三维转动的四元数表述 刘俊峰 ( 复旦大学 光科学与工程系 ,上海　200433) 摘要 :用四元数表达三维的旋转与使用矩阵相比具有两个优点 :第一 ,几何意义明确 ;第二 ,计算简单. 因此 , 四元数在数 学、物理学和计算机图形学中具有很高的应用价值. 本文详细叙述了四元数的这一功能 ,讨论了四元数的定义、运算、性质、几 何意义和它的 3 种表达形式 ,给出了使用四元数处理点的各种几何变换的一般结论. 关键词 : 四元数;矢量 ;旋转 中图分类号:O 411 　　　文献标识码 :A 　　　文章编号 (2004) 被简化成一阶单元. 结合后来的著述中可以看出他 1 　引言 的研究思路还是线性代数, 线性代数中的许多基本 二维平面上的旋转可以用复数来表达 ,三维空 概念就是他提出的. 在 1855 年的 1 篇文章中他定 间中的旋转则可以用四元数来表达. 用四元数表达 义了 16 种不同类型的乘积, 给出了这些乘积的几 三维的旋转与使用矩阵相比具有两个优点 :第一 , 何意义, 并应用于力学、磁学、晶体学. 几何意义明确 ;第二 ,计算简单. 此外 , 四元数代数 2) 四元数的发展. 麦克斯韦 ( Maxwell) 将四元 还涵盖了矢量代数 ,实数、复数和矢量都可以看作 数的数量部分和矢量部分分开, 作为实体处理, 作 是四元数的特例 ,可以在一个统一的体系中进行运 了大量的矢量分析. 三维矢量分析的建立, 及同四 算. 本文详细叙述了四元数的这一功能 ,讨论了四 元数的正式分裂是 18 世纪 80 年代由 Gibbs 和 元数的定义、运算、性质、几何意义和它的 3 种表达 Heaviside 独立完成的. 矢量代数被推广到矢量函数 形式. 和矢量微积分. 由此开始了四元数和矢量分析的争 论, 最终矢量分析占了上风. 从纯粹代数的观点看, 2 　四元数的源和流 四元数是令人兴奋的, 因为它提供了一个除了乘法 1) 四元数的起源. 四元数起源于寻找复数的三 的交换律外, 具有实数和复数性质的例子. 后来许 维对应物. 复数可以表达一个二维矢量 , 当处理不 多超复数系统被大量地创造出来, 例如, Galey 给出 共面的多个矢量时 ,需要用新的数来表达一个三维 了八元数, x = x + x e + …+ x e , e2 = - 1 , e e