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2012年高考数学难题集锦 一、填空题 1．直线过点，若可行域的外接圆直径为．则实数n的值是 . 2．已知函数f（x）＝cosωx（ω0）在区间上是单调函数，且f（）＝0，则 ω＝ ． 3．已知等差数列的前n项和为，若， ，则下列四个命题中真命题的序号为 . ①； ②； ③； ④ 4．如图，已知椭圆的左、右准线分别为，且分别交轴于两点，从上一点发出一条光线经过椭圆的左焦点被轴反射后与交于点，若，且，则椭圆的离心率等于 ． 5．己知等差数列{an}的各项都不为零，公差d0，且a4+a7=0，记数列的前n项和为Sn，则使Sn0成立的正整数n的最小值是_________. 6．如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点．现将沿折起，使平面平面．在平面内过点作，为垂足．设，则的取值范围是 ． 7．已知函数，若存在一个实数x，使与均不是正数，则实数m的取值范围是________________. 8. 定义区间的长度均为，其中，若是实数，且，则满足不等式的构成的区间长度之和为 . 二、解答题， 9．的离心率为，椭圆的左、右两个顶点分别为，，直线与椭圆相交于两点，经过三点的圆与经过三点的圆分别记为圆C1与圆C2． （1）求椭圆的方程； （2）求证：无论如何变化，圆C1与圆C2的圆心距是定值； （3）当变化时，求圆C1与圆C2的面积的和的最小值． 10．如图，已知椭圆过点. ，离心率为，左、右焦点分别为、 .点为直线上且不在轴上的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为、和、，为坐标原点. （I）求椭圆的标准方程； （II）设直线、的斜线分别为、.（i）证明：； （ii）问直线上是否存在点，使得直线、、、的斜率、、、满足？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由. 11．已知, 且. (Ⅰ)当时,求在处的切线方程； (Ⅱ)当时,设所对应的自变量取值区间的长度为(闭区间的长度定义为),试求的最大值； (Ⅲ)是否存在这样的，使得当时,?若存在,求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 12．对任一正整都存在整数使得成等差数列。 存在无穷多个互不相似的三角形，其边长为正整数且成等差数列。 2． 或4 3．②③ 4． 5． 116． 7．8. 2 二、解答题， 9．1）由题意：可得：， 故所求椭圆方程为：1 （2）易得A的坐标(－2，0)，B的坐标(2,0)，M的坐标，N的坐标，线段AM的中点P，直线AM的斜率又, 直线的斜率直线的方程，的坐标为 同理的坐标为 ,即无论t如何变化，为圆C1与圆C2的圆心距是定值. （2）圆的半径为，圆的半径为， 则 （＜＜） 显然时，最小，. 10． 11．解: (Ⅰ)当时,. 因为当时,,, 且, 所以当时,,且由于,所以,又, 故所求切线方程为,即 (Ⅱ) 因为,所以,则 当时,因为,, 所以由,解得, 从而当时, 当时,因为,, 所以由,解得, 从而当时, ③当时,因为, 从而 一定不成立 综上得,当且仅当时,, 故 从而当时,取得最大值为 (Ⅲ)“当时,”等价于“对恒成立”, 即“(*)对恒成立” 当时,,则当时,,则(*)可化为 ,即,而当时,, 所以,从而适合题意 当时,. 当时,(*)可化为,即,而, 所以,此时要求 当时,(*)可化为,所以,此时只要求 (3)当时,(*)可化为,即,而, 所以,此时要求由⑴⑵⑶,得符合题意要求. 综合①②知,满足题意的存在,且的取值范围是 12． （1）考虑到结构要证，；类似勾股数进行拼凑。 证明：考虑到结构特征，取特值满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立。 结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。 证明：当成等差数列，则， 分解得： 选取关于n的一个多项式，做两种途径的分解 对比目标式，构造，由第一问结论得，等差数列成立， 考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。 下证互不相似。[来源:学科网ZXXK] 任取正整数m，n，若△m，△相似：则三边对应成比例， 由比例的性质得：，与约定不同的值矛盾，故互不相似。 x N M O y A B l:x=t